Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74641 / 54645
↖ ↑ ↗
← N 28.639979°
E 25.007629°		 ← 268.06 m → N 28.639979°
E 25.010376°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
N 28.637568°
E 25.007629°		 ← 268.06 m →
71 865 m²		 N 28.637568°
E 25.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569469451904297 y=0.416912078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569469451904297 × 217)
    floor (0.569469451904297 × 131072)
    floor (74641.5)     		tx = 74641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416912078857422 × 217)
    floor (0.416912078857422 × 131072)
    floor (54645.5)     		ty = 54645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74641 / 54645 ti = "17/74641/54645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74641/54645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74641 ÷ 217
    74641 ÷ 131072     		x = 0.569465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54645 ÷ 217
    54645 ÷ 131072     		y = 0.416908264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569465637207031 × 2 - 1) × π
    0.138931274414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43646547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416908264160156 × 2 - 1) × π
    0.166183471679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.522080773762032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43646547} λ = 0.43646547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522080773762032))-π/2
    2×atan(1.68553121249607)-π/2
    2×1.03532912597399-π/2
    2.07065825194799-1.57079632675     		φ = 0.49986193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43646547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.007629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49986193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.639979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74641 KachelY 54645 0.43646547 0.49986193 25.007629 28.639979
    Oben rechts KachelX + 1 74642 KachelY 54645 0.43651341 0.49986193 25.010376 28.639979
    Unten links KachelX 74641 KachelY + 1 54646 0.43646547 0.49981985 25.007629 28.637568
    Unten rechts KachelX + 1 74642 KachelY + 1 54646 0.43651341 0.49981985 25.010376 28.637568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49986193-0.49981985) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49986193-0.49981985) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43646547-0.43651341) × cos(0.49986193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877648747809457 × 6371000     		do = 268.056518259601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43646547-0.43651341) × cos(0.49981985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877668916160143 × 6371000     		du = 268.062678193034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49986193)-sin(0.49981985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877648747809457-0.877668916160143)×R²
    abs(0.43651341-0.43646547)×2.01683506861894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01683506861894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01683506861894e-05×40589641000000     		ar = 71864.5480392595m²