Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7464 / 7427
↖ ↑ ↗
← S 81.113602°
E148.007813°		 ← 754.85 m → S 81.113602°
E148.051758°		 →
↑
754.58 m
↓
↑
754.58 m
↓
S 81.120389°
E148.007813°		 ← 754.27 m →
569 376 m²		 S 81.120389°
E148.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91119384765625 y=0.90667724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91119384765625 × 213)
    floor (0.91119384765625 × 8192)
    floor (7464.5)     		tx = 7464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90667724609375 × 213)
    floor (0.90667724609375 × 8192)
    floor (7427.5)     		ty = 7427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7464 / 7427 ti = "13/7464/7427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7464/7427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7464 ÷ 213
    7464 ÷ 8192     		x = 0.9111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7427 ÷ 213
    7427 ÷ 8192     		y = 0.9066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58322365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58322365} λ = 2.58322365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55484500215051))-π/2
    2×atan(0.0777042751294949)-π/2
    2×0.0775484476460636-π/2
    0.155096895292127-1.57079632675     		φ = -1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58322365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7464 KachelY 7427 2.58322365 -1.41569943 148.007813 -81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 7465 KachelY 7427 2.58399064 -1.41569943 148.051758 -81.113602
    Unten links KachelX 7464 KachelY + 1 7428 2.58322365 -1.41581787 148.007813 -81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 7465 KachelY + 1 7428 2.58399064 -1.41581787 148.051758 -81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41569943--1.41581787) × R
    0.000118439999999831 × 6371000     		dl = 754.581239998923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41569943--1.41581787) × R
    0.000118439999999831 × 6371000     		dr = 754.581239998923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58322365-2.58399064) × cos(-1.41569943) × R
    0.000766990000000245 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 754.845124925077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58322365-2.58399064) × cos(-1.41581787) × R
    0.000766990000000245 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 754.273310428589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41569943)-sin(-1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.154358814320269)×R²
    abs(2.58399064-2.58322365)×0.00011701939664141×R²
    0.000766990000000245×0.00011701939664141×6371000²
    0.000766990000000245×0.00011701939664141×40589641000000     		ar = 569376.230790793m²