Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7464 / 7400
↖ ↑ ↗
← S 80.928426°
E148.007813°		 ← 770.44 m → S 80.928426°
E148.051758°		 →
↑
770.13 m
↓
↑
770.13 m
↓
S 80.935352°
E148.007813°		 ← 769.86 m →
593 115 m²		 S 80.935352°
E148.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91119384765625 y=0.90338134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91119384765625 × 213)
    floor (0.91119384765625 × 8192)
    floor (7464.5)     		tx = 7464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90338134765625 × 213)
    floor (0.90338134765625 × 8192)
    floor (7400.5)     		ty = 7400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7464 / 7400 ti = "13/7464/7400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7464/7400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7464 ÷ 213
    7464 ÷ 8192     		x = 0.9111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7400 ÷ 213
    7400 ÷ 8192     		y = 0.9033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58322365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9033203125 × 2 - 1) × π
    -0.806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53413626151465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58322365} λ = 2.58322365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53413626151465))-π/2
    2×atan(0.0793302102369619)-π/2
    2×0.0791644200054952-π/2
    0.15832884001099-1.57079632675     		φ = -1.41246749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58322365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41246749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.928426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7464 KachelY 7400 2.58322365 -1.41246749 148.007813 -80.928426
    Oben rechts KachelX + 1 7465 KachelY 7400 2.58399064 -1.41246749 148.051758 -80.928426
    Unten links KachelX 7464 KachelY + 1 7401 2.58322365 -1.41258837 148.007813 -80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 7465 KachelY + 1 7401 2.58399064 -1.41258837 148.051758 -80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41246749--1.41258837) × R
    0.000120879999999879 × 6371000     		dl = 770.126479999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41246749--1.41258837) × R
    0.000120879999999879 × 6371000     		dr = 770.126479999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58322365-2.58399064) × cos(-1.41246749) × R
    0.000766990000000245 × 0.157668167000313 × 6371000     		do = 770.444440093873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58322365-2.58399064) × cos(-1.41258837) × R
    0.000766990000000245 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 769.861143284897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41246749)-sin(-1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157668167000313-0.157548797797418)×R²
    abs(2.58399064-2.58322365)×0.000119369202894348×R²
    0.000766990000000245×0.000119369202894348×6371000²
    0.000766990000000245×0.000119369202894348×40589641000000     		ar = 593115.059244664m²