Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7464 / 5448
↖ ↑ ↗
← N 75.994839°
W 97.998047°		 ← 295.65 m → N 75.994839°
W 97.987060°		 →
↑
295.68 m
↓
↑
295.68 m
↓
N 75.992180°
W 97.998047°		 ← 295.70 m →
87 425 m²		 N 75.992180°
W 97.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227798461914062 y=0.166275024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227798461914062 × 215)
    floor (0.227798461914062 × 32768)
    floor (7464.5)     		tx = 7464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166275024414062 × 215)
    floor (0.166275024414062 × 32768)
    floor (5448.5)     		ty = 5448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7464 / 5448 ti = "15/7464/5448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7464/5448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7464 ÷ 215
    7464 ÷ 32768     		x = 0.227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5448 ÷ 215
    5448 ÷ 32768     		y = 0.166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.54443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71038858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166259765625 × 2 - 1) × π
    0.66748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09695173697974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71038858} λ = -1.71038858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09695173697974))-π/2
    2×atan(8.14131517993282)-π/2
    2×1.44857824213115-π/2
    2.8971564842623-1.57079632675     		φ = 1.32636016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71038858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32636016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.994839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7464 KachelY 5448 -1.71038858 1.32636016 -97.998047 75.994839
    Oben rechts KachelX + 1 7465 KachelY 5448 -1.71019683 1.32636016 -97.987060 75.994839
    Unten links KachelX 7464 KachelY + 1 5449 -1.71038858 1.32631375 -97.998047 75.992180
    Unten rechts KachelX + 1 7465 KachelY + 1 5449 -1.71019683 1.32631375 -97.987060 75.992180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32636016-1.32631375) × R
    4.64099999999412e-05 × 6371000     		dl = 295.678109999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32636016-1.32631375) × R
    4.64099999999412e-05 × 6371000     		dr = 295.678109999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71038858--1.71019683) × cos(1.32636016) × R
    0.000191750000000157 × 0.242009290624942 × 6371000     		do = 295.648048292328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71038858--1.71019683) × cos(1.32631375) × R
    0.000191750000000157 × 0.242054320777483 × 6371000     		du = 295.703058894105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32636016)-sin(1.32631375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242009290624942-0.242054320777483)×R²
    abs(-1.71019683--1.71038858)×4.50301525405927e-05×R²
    0.000191750000000157×4.50301525405927e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.50301525405927e-05×40589641000000     		ar = 87424.7888751911m²