Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7464 / 4442
↖ ↑ ↗
← N 63.292939°
W 15.996094°		 ← 1 098.05 m → N 63.292939°
W 15.974121°		 →
↑
1 098.23 m
↓
↑
1 098.23 m
↓
N 63.283062°
W 15.996094°		 ← 1 098.43 m →
1 206 123 m²		 N 63.283062°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455596923828125 y=0.271148681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455596923828125 × 214)
    floor (0.455596923828125 × 16384)
    floor (7464.5)     		tx = 7464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271148681640625 × 214)
    floor (0.271148681640625 × 16384)
    floor (4442.5)     		ty = 4442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7464 / 4442 ti = "14/7464/4442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7464/4442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7464 ÷ 214
    7464 ÷ 16384     		x = 0.45556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4442 ÷ 214
    4442 ÷ 16384     		y = 0.2711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45556640625 × 2 - 1) × π
    -0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2711181640625 × 2 - 1) × π
    0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27918450} λ = -0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43810698860168))-π/2
    2×atan(4.21271354935167)-π/2
    2×1.33773325492141-π/2
    2.67546650984282-1.57079632675     		φ = 1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7464 KachelY 4442 -0.27918450 1.10467018 -15.996094 63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 7465 KachelY 4442 -0.27880101 1.10467018 -15.974121 63.292939
    Unten links KachelX 7464 KachelY + 1 4443 -0.27918450 1.10449780 -15.996094 63.283062
    Unten rechts KachelX + 1 7465 KachelY + 1 4443 -0.27880101 1.10449780 -15.974121 63.283062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10467018-1.10449780) × R
    0.000172379999999972 × 6371000     		dl = 1098.23297999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10467018-1.10449780) × R
    0.000172379999999972 × 6371000     		dr = 1098.23297999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27918450--0.27880101) × cos(1.10467018) × R
    0.000383489999999986 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 1098.05180262193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27918450--0.27880101) × cos(1.10449780) × R
    0.000383489999999986 × 0.449583074313359 × 6371000     		du = 1098.42801649603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10467018)-sin(1.10449780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449583074313359)×R²
    abs(-0.27880101--0.27918450)×0.000153983135513014×R²
    0.000383489999999986×0.000153983135513014×6371000²
    0.000383489999999986×0.000153983135513014×40589641000000     		ar = 1206123.2916167m²