Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7464 / 4440
↖ ↑ ↗
← N 63.312683°
W 15.996094°		 ← 1 097.30 m → N 63.312683°
W 15.974121°		 →
↑
1 097.47 m
↓
↑
1 097.47 m
↓
N 63.302813°
W 15.996094°		 ← 1 097.68 m →
1 204 458 m²		 N 63.302813°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455596923828125 y=0.271026611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455596923828125 × 214)
    floor (0.455596923828125 × 16384)
    floor (7464.5)     		tx = 7464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271026611328125 × 214)
    floor (0.271026611328125 × 16384)
    floor (4440.5)     		ty = 4440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7464 / 4440 ti = "14/7464/4440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7464/4440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7464 ÷ 214
    7464 ÷ 16384     		x = 0.45556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4440 ÷ 214
    4440 ÷ 16384     		y = 0.27099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45556640625 × 2 - 1) × π
    -0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27099609375 × 2 - 1) × π
    0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27918450} λ = -0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43887397899561))-π/2
    2×atan(4.21594589960871)-π/2
    2×1.33790554978287-π/2
    2.67581109956573-1.57079632675     		φ = 1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7464 KachelY 4440 -0.27918450 1.10501477 -15.996094 63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 7465 KachelY 4440 -0.27880101 1.10501477 -15.974121 63.312683
    Unten links KachelX 7464 KachelY + 1 4441 -0.27918450 1.10484251 -15.996094 63.302813
    Unten rechts KachelX + 1 7465 KachelY + 1 4441 -0.27880101 1.10484251 -15.974121 63.302813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10501477-1.10484251) × R
    0.000172259999999813 × 6371000     		dl = 1097.46845999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10501477-1.10484251) × R
    0.000172259999999813 × 6371000     		dr = 1097.46845999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27918450--0.27880101) × cos(1.10501477) × R
    0.000383489999999986 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 1097.29964809955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27918450--0.27880101) × cos(1.10484251) × R
    0.000383489999999986 × 0.449275139357281 × 6371000     		du = 1097.67566525698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10501477)-sin(1.10484251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.449275139357281)×R²
    abs(-0.27880101--0.27918450)×0.000153902620012025×R²
    0.000383489999999986×0.000153902620012025×6371000²
    0.000383489999999986×0.000153902620012025×40589641000000     		ar = 1204458.09142131m²