Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74638 / 76442
↖ ↑ ↗
← S 28.676130°
E 24.999390°		 ← 267.96 m → S 28.676130°
E 25.002136°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 28.678540°
E 24.999390°		 ← 267.96 m →
71 804 m²		 S 28.678540°
E 25.002136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569446563720703 y=0.583209991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569446563720703 × 217)
    floor (0.569446563720703 × 131072)
    floor (74638.5)     		tx = 74638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583209991455078 × 217)
    floor (0.583209991455078 × 131072)
    floor (76442.5)     		ty = 76442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74638 / 76442 ti = "17/74638/76442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74638/76442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74638 ÷ 217
    74638 ÷ 131072     		x = 0.569442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76442 ÷ 217
    76442 ÷ 131072     		y = 0.583206176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569442749023438 × 2 - 1) × π
    0.138885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43632166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583206176757812 × 2 - 1) × π
    -0.166412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.522799827256332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43632166} λ = 0.43632166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522799827256332))-π/2
    2×atan(0.592858321195307)-π/2
    2×0.535151717009722-π/2
    1.07030343401944-1.57079632675     		φ = -0.50049289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43632166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.999390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50049289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.676130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74638 KachelY 76442 0.43632166 -0.50049289 24.999390 -28.676130
    Oben rechts KachelX + 1 74639 KachelY 76442 0.43636960 -0.50049289 25.002136 -28.676130
    Unten links KachelX 74638 KachelY + 1 76443 0.43632166 -0.50053495 24.999390 -28.678540
    Unten rechts KachelX + 1 74639 KachelY + 1 76443 0.43636960 -0.50053495 25.002136 -28.678540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50049289--0.50053495) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dl = 267.96426000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50049289--0.50053495) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dr = 267.96426000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43632166-0.43636960) × cos(-0.50049289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877346151246024 × 6371000     		do = 267.964097480603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43632166-0.43636960) × cos(-0.50053495) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877325967641172 × 6371000     		du = 267.957932888155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50049289)-sin(-0.50053495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877346151246024-0.877325967641172)×R²
    abs(0.43636960-0.43632166)×2.01836048526749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01836048526749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01836048526749e-05×40589641000000     		ar = 71803.9751534867m²