Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74638 / 56193
↖ ↑ ↗
← N 24.844073°
E 24.999390°		 ← 277.16 m → N 24.844073°
E 25.002136°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
N 24.841580°
E 24.999390°		 ← 277.17 m →
76 812 m²		 N 24.841580°
E 25.002136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569446563720703 y=0.428722381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569446563720703 × 217)
    floor (0.569446563720703 × 131072)
    floor (74638.5)     		tx = 74638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428722381591797 × 217)
    floor (0.428722381591797 × 131072)
    floor (56193.5)     		ty = 56193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74638 / 56193 ti = "17/74638/56193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74638/56193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74638 ÷ 217
    74638 ÷ 131072     		x = 0.569442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56193 ÷ 217
    56193 ÷ 131072     		y = 0.428718566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569442749023438 × 2 - 1) × π
    0.138885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43632166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428718566894531 × 2 - 1) × π
    0.142562866210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.447874453150185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43632166} λ = 0.43632166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447874453150185))-π/2
    2×atan(1.56498220473355)-π/2
    2×1.00220359990079-π/2
    2.00440719980158-1.57079632675     		φ = 0.43361087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43632166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.999390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43361087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.844073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74638 KachelY 56193 0.43632166 0.43361087 24.999390 24.844073
    Oben rechts KachelX + 1 74639 KachelY 56193 0.43636960 0.43361087 25.002136 24.844073
    Unten links KachelX 74638 KachelY + 1 56194 0.43632166 0.43356737 24.999390 24.841580
    Unten rechts KachelX + 1 74639 KachelY + 1 56194 0.43636960 0.43356737 25.002136 24.841580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43361087-0.43356737) × R
    4.34999999999741e-05 × 6371000     		dl = 277.138499999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43361087-0.43356737) × R
    4.34999999999741e-05 × 6371000     		dr = 277.138499999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43632166-0.43636960) × cos(0.43361087) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907454560956587 × 6371000     		do = 277.15998079668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43632166-0.43636960) × cos(0.43356737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90747283663323 × 6371000     		du = 277.165562658743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43361087)-sin(0.43356737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907454560956587-0.90747283663323)×R²
    abs(0.43636960-0.43632166)×1.82756766423653e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82756766423653e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82756766423653e-05×40589641000000     		ar = 76812.4748244902m²