Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74637 / 76435
↖ ↑ ↗
← S 28.659261°
E 24.996643°		 ← 268.01 m → S 28.659261°
E 24.999390°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 28.661671°
E 24.996643°		 ← 268 m →
71 816 m²		 S 28.661671°
E 24.999390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569438934326172 y=0.583156585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569438934326172 × 217)
    floor (0.569438934326172 × 131072)
    floor (74637.5)     		tx = 74637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583156585693359 × 217)
    floor (0.583156585693359 × 131072)
    floor (76435.5)     		ty = 76435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74637 / 76435 ti = "17/74637/76435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74637/76435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74637 ÷ 217
    74637 ÷ 131072     		x = 0.569435119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76435 ÷ 217
    76435 ÷ 131072     		y = 0.583152770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569435119628906 × 2 - 1) × π
    0.138870239257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43627372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583152770996094 × 2 - 1) × π
    -0.166305541992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.522464268958992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43627372} λ = 0.43627372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522464268958992))-π/2
    2×atan(0.593057293105602)-π/2
    2×0.535298929249482-π/2
    1.07059785849896-1.57079632675     		φ = -0.50019847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43627372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.996643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50019847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.659261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74637 KachelY 76435 0.43627372 -0.50019847 24.996643 -28.659261
    Oben rechts KachelX + 1 74638 KachelY 76435 0.43632166 -0.50019847 24.999390 -28.659261
    Unten links KachelX 74637 KachelY + 1 76436 0.43627372 -0.50024053 24.996643 -28.661671
    Unten rechts KachelX + 1 74638 KachelY + 1 76436 0.43632166 -0.50024053 24.999390 -28.661671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50019847--0.50024053) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dl = 267.96426000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50019847--0.50024053) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dr = 267.96426000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43627372-0.43632166) × cos(-0.50019847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877487393020213 × 6371000     		do = 268.007236354004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43627372-0.43632166) × cos(-0.50024053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877467220280555 × 6371000     		du = 268.001075080066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50019847)-sin(-0.50024053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877487393020213-0.877467220280555)×R²
    abs(0.43632166-0.43627372)×2.01727396577089e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01727396577089e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01727396577089e-05×40589641000000     		ar = 71815.5352743086m²