Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74637 / 55140
↖ ↑ ↗
← N 27.440040°
E 24.996643°		 ← 271.06 m → N 27.440040°
E 24.999390°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 27.437603°
E 24.996643°		 ← 271.07 m →
73 465 m²		 N 27.437603°
E 24.999390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569438934326172 y=0.420688629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569438934326172 × 217)
    floor (0.569438934326172 × 131072)
    floor (74637.5)     		tx = 74637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420688629150391 × 217)
    floor (0.420688629150391 × 131072)
    floor (55140.5)     		ty = 55140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74637 / 55140 ti = "17/74637/55140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74637/55140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74637 ÷ 217
    74637 ÷ 131072     		x = 0.569435119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55140 ÷ 217
    55140 ÷ 131072     		y = 0.420684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569435119628906 × 2 - 1) × π
    0.138870239257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43627372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420684814453125 × 2 - 1) × π
    0.15863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.498352008450104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43627372} λ = 0.43627372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498352008450104))-π/2
    2×atan(1.6460064296099)-π/2
    2×1.02485768988934-π/2
    2.04971537977868-1.57079632675     		φ = 0.47891905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43627372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.996643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47891905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.440040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74637 KachelY 55140 0.43627372 0.47891905 24.996643 27.440040
    Oben rechts KachelX + 1 74638 KachelY 55140 0.43632166 0.47891905 24.999390 27.440040
    Unten links KachelX 74637 KachelY + 1 55141 0.43627372 0.47887651 24.996643 27.437603
    Unten rechts KachelX + 1 74638 KachelY + 1 55141 0.43632166 0.47887651 24.999390 27.437603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47891905-0.47887651) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dl = 271.022340000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47891905-0.47887651) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dr = 271.022340000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43627372-0.43632166) × cos(0.47891905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887493564676033 × 6371000     		do = 271.063378736551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43627372-0.43632166) × cos(0.47887651) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887513167160427 × 6371000     		du = 271.069365839853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47891905)-sin(0.47887651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887493564676033-0.887513167160427)×R²
    abs(0.43632166-0.43627372)×1.96024843945874e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96024843945874e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96024843945874e-05×40589641000000     		ar = 73465.0425239656m²