Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74635 / 76937
↖ ↑ ↗
← S 29.862084°
E 24.991150°		 ← 264.87 m → S 29.862084°
E 24.993897°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 29.864465°
E 24.991150°		 ← 264.87 m →
70 149 m²		 S 29.864465°
E 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569423675537109 y=0.586986541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569423675537109 × 217)
    floor (0.569423675537109 × 131072)
    floor (74635.5)     		tx = 74635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586986541748047 × 217)
    floor (0.586986541748047 × 131072)
    floor (76937.5)     		ty = 76937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74635 / 76937 ti = "17/74635/76937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74635/76937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74635 ÷ 217
    74635 ÷ 131072     		x = 0.569419860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76937 ÷ 217
    76937 ÷ 131072     		y = 0.586982727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569419860839844 × 2 - 1) × π
    0.138839721679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43617785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586982727050781 × 2 - 1) × π
    -0.173965454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.54652859256826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43617785} λ = 0.43617785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54652859256826))-π/2
    2×atan(0.578956118581803)-π/2
    2×0.524802325168875-π/2
    1.04960465033775-1.57079632675     		φ = -0.52119168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43617785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.991150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52119168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.862084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74635 KachelY 76937 0.43617785 -0.52119168 24.991150 -29.862084
    Oben rechts KachelX + 1 74636 KachelY 76937 0.43622579 -0.52119168 24.993897 -29.862084
    Unten links KachelX 74635 KachelY + 1 76938 0.43617785 -0.52123325 24.991150 -29.864465
    Unten rechts KachelX + 1 74636 KachelY + 1 76938 0.43622579 -0.52123325 24.993897 -29.864465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52119168--0.52123325) × R
    4.15699999999353e-05 × 6371000     		dl = 264.842469999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52119168--0.52123325) × R
    4.15699999999353e-05 × 6371000     		dr = 264.842469999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43617785-0.43622579) × cos(-0.52119168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867226441499664 × 6371000     		do = 264.873277642735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43617785-0.43622579) × cos(-0.52123325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867205742467558 × 6371000     		du = 264.866955625536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52119168)-sin(-0.52123325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867226441499664-0.867205742467558)×R²
    abs(0.43622579-0.43617785)×2.06990321054423e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06990321054423e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06990321054423e-05×40589641000000     		ar = 70148.8559285517m²