Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74634 / 76951
↖ ↑ ↗
← S 29.895425°
E 24.988403°		 ← 264.78 m → S 29.895425°
E 24.991150°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 29.897806°
E 24.988403°		 ← 264.78 m →
70 109 m²		 S 29.897806°
E 24.991150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569416046142578 y=0.587093353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569416046142578 × 217)
    floor (0.569416046142578 × 131072)
    floor (74634.5)     		tx = 74634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587093353271484 × 217)
    floor (0.587093353271484 × 131072)
    floor (76951.5)     		ty = 76951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74634 / 76951 ti = "17/74634/76951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74634/76951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74634 ÷ 217
    74634 ÷ 131072     		x = 0.569412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76951 ÷ 217
    76951 ÷ 131072     		y = 0.587089538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569412231445312 × 2 - 1) × π
    0.138824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43612991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587089538574219 × 2 - 1) × π
    -0.174179077148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.547199709162941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43612991} λ = 0.43612991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547199709162941))-π/2
    2×atan(0.578567701874059)-π/2
    2×0.524511368772046-π/2
    1.04902273754409-1.57079632675     		φ = -0.52177359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43612991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52177359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.895425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74634 KachelY 76951 0.43612991 -0.52177359 24.988403 -29.895425
    Oben rechts KachelX + 1 74635 KachelY 76951 0.43617785 -0.52177359 24.991150 -29.895425
    Unten links KachelX 74634 KachelY + 1 76952 0.43612991 -0.52181515 24.988403 -29.897806
    Unten rechts KachelX + 1 74635 KachelY + 1 76952 0.43617785 -0.52181515 24.991150 -29.897806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52177359--0.52181515) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52177359--0.52181515) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43612991-0.43617785) × cos(-0.52177359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866936553581019 × 6371000     		do = 264.784738410359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43612991-0.43617785) × cos(-0.52181515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866915838559009 × 6371000     		du = 264.778411509432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52177359)-sin(-0.52181515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866936553581019-0.866915838559009)×R²
    abs(0.43617785-0.43612991)×2.0715022010398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0715022010398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0715022010398e-05×40589641000000     		ar = 70108.5370988264m²