Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74634 / 55142
↖ ↑ ↗
← N 27.435165°
E 24.988403°		 ← 271.08 m → N 27.435165°
E 24.991150°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 27.432728°
E 24.988403°		 ← 271.08 m →
73 468 m²		 N 27.432728°
E 24.991150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569416046142578 y=0.420703887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569416046142578 × 217)
    floor (0.569416046142578 × 131072)
    floor (74634.5)     		tx = 74634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420703887939453 × 217)
    floor (0.420703887939453 × 131072)
    floor (55142.5)     		ty = 55142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74634 / 55142 ti = "17/74634/55142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74634/55142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74634 ÷ 217
    74634 ÷ 131072     		x = 0.569412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55142 ÷ 217
    55142 ÷ 131072     		y = 0.420700073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569412231445312 × 2 - 1) × π
    0.138824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43612991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420700073242188 × 2 - 1) × π
    0.158599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498256134650864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43612991} λ = 0.43612991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498256134650864))-π/2
    2×atan(1.64584862828455)-π/2
    2×1.02481514525972-π/2
    2.04963029051943-1.57079632675     		φ = 0.47883396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43612991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47883396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.435165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74634 KachelY 55142 0.43612991 0.47883396 24.988403 27.435165
    Oben rechts KachelX + 1 74635 KachelY 55142 0.43617785 0.47883396 24.991150 27.435165
    Unten links KachelX 74634 KachelY + 1 55143 0.43612991 0.47879142 24.988403 27.432728
    Unten rechts KachelX + 1 74635 KachelY + 1 55143 0.43617785 0.47879142 24.991150 27.432728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47883396-0.47879142) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dl = 271.022339999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47883396-0.47879142) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dr = 271.022339999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43612991-0.43617785) × cos(0.47883396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887532772646178 × 6371000     		do = 271.075353859533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43612991-0.43617785) × cos(0.47879142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887552371917981 × 6371000     		du = 271.081339981627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47883396)-sin(0.47879142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887532772646178-0.887552371917981)×R²
    abs(0.43617785-0.43612991)×1.95992718023952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95992718023952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95992718023952e-05×40589641000000     		ar = 73468.2879167108m²