Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74633 / 55938
↖ ↑ ↗
← N 25.477992°
E 24.985657°		 ← 275.67 m → N 25.477992°
E 24.988403°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.475513°
E 24.985657°		 ← 275.67 m →
75 994 m²		 N 25.475513°
E 24.988403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569408416748047 y=0.426776885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569408416748047 × 217)
    floor (0.569408416748047 × 131072)
    floor (74633.5)     		tx = 74633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426776885986328 × 217)
    floor (0.426776885986328 × 131072)
    floor (55938.5)     		ty = 55938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74633 / 55938 ti = "17/74633/55938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74633/55938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74633 ÷ 217
    74633 ÷ 131072     		x = 0.569404602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55938 ÷ 217
    55938 ÷ 131072     		y = 0.426773071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569404602050781 × 2 - 1) × π
    0.138809204101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43608198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426773071289062 × 2 - 1) × π
    0.146453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.460098362553299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43608198} λ = 0.43608198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460098362553299))-π/2
    2×atan(1.58422980621962)-π/2
    2×1.00773558978744-π/2
    2.01547117957489-1.57079632675     		φ = 0.44467485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43608198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.985657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44467485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.477992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74633 KachelY 55938 0.43608198 0.44467485 24.985657 25.477992
    Oben rechts KachelX + 1 74634 KachelY 55938 0.43612991 0.44467485 24.988403 25.477992
    Unten links KachelX 74633 KachelY + 1 55939 0.43608198 0.44463158 24.985657 25.475513
    Unten rechts KachelX + 1 74634 KachelY + 1 55939 0.43612991 0.44463158 24.988403 25.475513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44467485-0.44463158) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44467485-0.44463158) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43608198-0.43612991) × cos(0.44467485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902750581060308 × 6371000     		do = 275.665750016424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43608198-0.43612991) × cos(0.44463158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902769193427645 × 6371000     		du = 275.671433526697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44467485)-sin(0.44463158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902750581060308-0.902769193427645)×R²
    abs(0.43612991-0.43608198)×1.86123673371341e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86123673371341e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86123673371341e-05×40589641000000     		ar = 75994.4345749571m²