Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74631 / 90791
↖ ↑ ↗
← S 56.811404°
E 24.980163°		 ← 167.19 m → S 56.811404°
E 24.982910°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
S 56.812907°
E 24.980163°		 ← 167.18 m →
27 949 m²		 S 56.812907°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569393157958984 y=0.692684173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569393157958984 × 217)
    floor (0.569393157958984 × 131072)
    floor (74631.5)     		tx = 74631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692684173583984 × 217)
    floor (0.692684173583984 × 131072)
    floor (90791.5)     		ty = 90791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74631 / 90791 ti = "17/74631/90791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74631/90791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74631 ÷ 217
    74631 ÷ 131072     		x = 0.569389343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90791 ÷ 217
    90791 ÷ 131072     		y = 0.692680358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569389343261719 × 2 - 1) × π
    0.138778686523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43598610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692680358886719 × 2 - 1) × π
    -0.385360717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.21064639990452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43598610} λ = 0.43598610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21064639990452))-π/2
    2×atan(0.298004587021823)-π/2
    2×0.289625136477039-π/2
    0.579250272954077-1.57079632675     		φ = -0.99154605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43598610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.980163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99154605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.811404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74631 KachelY 90791 0.43598610 -0.99154605 24.980163 -56.811404
    Oben rechts KachelX + 1 74632 KachelY 90791 0.43603404 -0.99154605 24.982910 -56.811404
    Unten links KachelX 74631 KachelY + 1 90792 0.43598610 -0.99157229 24.980163 -56.812907
    Unten rechts KachelX + 1 74632 KachelY + 1 90792 0.43603404 -0.99157229 24.982910 -56.812907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99154605--0.99157229) × R
    2.62400000000662e-05 × 6371000     		dl = 167.175040000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99154605--0.99157229) × R
    2.62400000000662e-05 × 6371000     		dr = 167.175040000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43598610-0.43603404) × cos(-0.99154605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.5473966673738 × 6371000     		do = 167.189032206261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43598610-0.43603404) × cos(-0.99157229) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547374707630456 × 6371000     		du = 167.1823251354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99154605)-sin(-0.99157229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5473966673738-0.547374707630456)×R²
    abs(0.43603404-0.43598610)×2.19597433440688e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19597433440688e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19597433440688e-05×40589641000000     		ar = 27949.2725209045m²