Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74631 / 56250
↖ ↑ ↗
← N 24.701925°
E 24.980163°		 ← 277.48 m → N 24.701925°
E 24.982910°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.699430°
E 24.980163°		 ← 277.48 m →
76 989 m²		 N 24.699430°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569393157958984 y=0.429157257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569393157958984 × 217)
    floor (0.569393157958984 × 131072)
    floor (74631.5)     		tx = 74631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429157257080078 × 217)
    floor (0.429157257080078 × 131072)
    floor (56250.5)     		ty = 56250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74631 / 56250 ti = "17/74631/56250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74631/56250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74631 ÷ 217
    74631 ÷ 131072     		x = 0.569389343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56250 ÷ 217
    56250 ÷ 131072     		y = 0.429153442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569389343261719 × 2 - 1) × π
    0.138778686523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43598610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429153442382812 × 2 - 1) × π
    0.141693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.445142049871841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43598610} λ = 0.43598610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445142049871841))-π/2
    2×atan(1.56071187900966)-π/2
    2×1.00096312335569-π/2
    2.00192624671138-1.57079632675     		φ = 0.43112992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43598610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.980163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43112992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.701925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74631 KachelY 56250 0.43598610 0.43112992 24.980163 24.701925
    Oben rechts KachelX + 1 74632 KachelY 56250 0.43603404 0.43112992 24.982910 24.701925
    Unten links KachelX 74631 KachelY + 1 56251 0.43598610 0.43108637 24.980163 24.699430
    Unten rechts KachelX + 1 74632 KachelY + 1 56251 0.43603404 0.43108637 24.982910 24.699430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43112992-0.43108637) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43112992-0.43108637) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43598610-0.43603404) × cos(0.43112992) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90849413887108 × 6371000     		do = 277.477494650502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43598610-0.43603404) × cos(0.43108637) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908512337449796 × 6371000     		du = 277.483052964873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43112992)-sin(0.43108637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90849413887108-0.908512337449796)×R²
    abs(0.43603404-0.43598610)×1.81985787163219e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81985787163219e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81985787163219e-05×40589641000000     		ar = 76988.8582160936m²