Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74630 / 56694
↖ ↑ ↗
← N 23.589160°
E 24.977417°		 ← 279.85 m → N 23.589160°
E 24.980163°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
N 23.586643°
E 24.977417°		 ← 279.85 m →
78 323 m²		 N 23.586643°
E 24.980163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569385528564453 y=0.432544708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569385528564453 × 217)
    floor (0.569385528564453 × 131072)
    floor (74630.5)     		tx = 74630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432544708251953 × 217)
    floor (0.432544708251953 × 131072)
    floor (56694.5)     		ty = 56694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74630 / 56694 ti = "17/74630/56694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74630/56694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74630 ÷ 217
    74630 ÷ 131072     		x = 0.569381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56694 ÷ 217
    56694 ÷ 131072     		y = 0.432540893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569381713867188 × 2 - 1) × π
    0.138763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43593817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432540893554688 × 2 - 1) × π
    0.134918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423858066440537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43593817} λ = 0.43593817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423858066440537))-π/2
    2×atan(1.52784472595375)-π/2
    2×0.99125242069028-π/2
    1.98250484138056-1.57079632675     		φ = 0.41170851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43593817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.977417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41170851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.589160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74630 KachelY 56694 0.43593817 0.41170851 24.977417 23.589160
    Oben rechts KachelX + 1 74631 KachelY 56694 0.43598610 0.41170851 24.980163 23.589160
    Unten links KachelX 74630 KachelY + 1 56695 0.43593817 0.41166458 24.977417 23.586643
    Unten rechts KachelX + 1 74631 KachelY + 1 56695 0.43598610 0.41166458 24.980163 23.586643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41170851-0.41166458) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41170851-0.41166458) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43593817-0.43598610) × cos(0.41170851) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916438456584512 × 6371000     		do = 279.845507472561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43593817-0.43598610) × cos(0.41166458) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916456035416762 × 6371000     		du = 279.850875380462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41170851)-sin(0.41166458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916438456584512-0.916456035416762)×R²
    abs(0.43598610-0.43593817)×1.75788322505088e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.75788322505088e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.75788322505088e-05×40589641000000     		ar = 78323.3605282329m²