Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7463 / 7412
↖ ↑ ↗
← S 81.011194°
E147.963867°		 ← 763.47 m → S 81.011194°
E148.007813°		 →
↑
763.18 m
↓
↑
763.18 m
↓
S 81.018058°
E147.963867°		 ← 762.89 m →
582 448 m²		 S 81.018058°
E148.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91107177734375 y=0.90484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91107177734375 × 213)
    floor (0.91107177734375 × 8192)
    floor (7463.5)     		tx = 7463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90484619140625 × 213)
    floor (0.90484619140625 × 8192)
    floor (7412.5)     		ty = 7412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7463 / 7412 ti = "13/7463/7412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7463/7412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7463 ÷ 213
    7463 ÷ 8192     		x = 0.9110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7412 ÷ 213
    7412 ÷ 8192     		y = 0.90478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    0.822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58245666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90478515625 × 2 - 1) × π
    -0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58245666} λ = 2.58245666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5433401462417))-π/2
    2×atan(0.0786034139319334)-π/2
    2×0.0784421277706298-π/2
    0.15688425554126-1.57079632675     		φ = -1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58245666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7463 KachelY 7412 2.58245666 -1.41391207 147.963867 -81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 7464 KachelY 7412 2.58322365 -1.41391207 148.007813 -81.011194
    Unten links KachelX 7463 KachelY + 1 7413 2.58245666 -1.41403186 147.963867 -81.018058
    Unten rechts KachelX + 1 7464 KachelY + 1 7413 2.58322365 -1.41403186 148.007813 -81.018058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41391207--1.41403186) × R
    0.000119789999999842 × 6371000     		dl = 763.182089998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41391207--1.41403186) × R
    0.000119789999999842 × 6371000     		dr = 763.182089998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58245666-2.58322365) × cos(-1.41391207) × R
    0.000766989999999801 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 763.473000188536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58245666-2.58322365) × cos(-1.41403186) × R
    0.000766989999999801 × 0.156123171606537 × 6371000     		du = 762.894830468664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41391207)-sin(-1.41403186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156123171606537)×R²
    abs(2.58322365-2.58245666)×0.000118319965987795×R²
    0.000766989999999801×0.000118319965987795×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118319965987795×40589641000000     		ar = 582448.296250673m²