Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7463 / 5468
↖ ↑ ↗
← N 75.941564°
W 98.009033°		 ← 296.75 m → N 75.941564°
W 97.998047°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 75.938895°
W 98.009033°		 ← 296.81 m →
88 072 m²		 N 75.938895°
W 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227767944335938 y=0.166885375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227767944335938 × 215)
    floor (0.227767944335938 × 32768)
    floor (7463.5)     		tx = 7463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166885375976562 × 215)
    floor (0.166885375976562 × 32768)
    floor (5468.5)     		ty = 5468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7463 / 5468 ti = "15/7463/5468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7463/5468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7463 ÷ 215
    7463 ÷ 32768     		x = 0.227752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5468 ÷ 215
    5468 ÷ 32768     		y = 0.1668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.54449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71058033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    0.666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09311678501013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71058033} λ = -1.71058033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09311678501013))-π/2
    2×atan(8.11015341737068)-π/2
    2×1.44811333076991-π/2
    2.89622666153981-1.57079632675     		φ = 1.32543033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71058033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32543033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.941564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7463 KachelY 5468 -1.71058033 1.32543033 -98.009033 75.941564
    Oben rechts KachelX + 1 7464 KachelY 5468 -1.71038858 1.32543033 -97.998047 75.941564
    Unten links KachelX 7463 KachelY + 1 5469 -1.71058033 1.32538375 -98.009033 75.938895
    Unten rechts KachelX + 1 7464 KachelY + 1 5469 -1.71038858 1.32538375 -97.998047 75.938895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32543033-1.32538375) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32543033-1.32538375) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71058033--1.71038858) × cos(1.32543033) × R
    0.000191749999999935 × 0.242911375686542 × 6371000     		do = 296.750070810074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71058033--1.71038858) × cos(1.32538375) × R
    0.000191749999999935 × 0.242956560281442 × 6371000     		du = 296.8052700847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32543033)-sin(1.32538375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242911375686542-0.242956560281442)×R²
    abs(-1.71038858--1.71058033)×4.51845949004936e-05×R²
    0.000191749999999935×4.51845949004936e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.51845949004936e-05×40589641000000     		ar = 88072.0916956502m²