Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7463 / 3429
↖ ↑ ↗
← N 71.711989°
W 16.018066°		 ← 766.69 m → N 71.711989°
W 15.996094°		 →
↑
766.81 m
↓
↑
766.81 m
↓
N 71.705093°
W 16.018066°		 ← 766.96 m →
588 012 m²		 N 71.705093°
W 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455535888671875 y=0.209320068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455535888671875 × 214)
    floor (0.455535888671875 × 16384)
    floor (7463.5)     		tx = 7463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209320068359375 × 214)
    floor (0.209320068359375 × 16384)
    floor (3429.5)     		ty = 3429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7463 / 3429 ti = "14/7463/3429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7463/3429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7463 ÷ 214
    7463 ÷ 16384     		x = 0.45550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3429 ÷ 214
    3429 ÷ 16384     		y = 0.20928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27956800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20928955078125 × 2 - 1) × π
    0.5814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82658762312262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27956800} λ = -0.27956800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82658762312262))-π/2
    2×atan(6.21265054125939)-π/2
    2×1.41120332110473-π/2
    2.82240664220946-1.57079632675     		φ = 1.25161032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27956800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.018066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25161032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.711989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7463 KachelY 3429 -0.27956800 1.25161032 -16.018066 71.711989
    Oben rechts KachelX + 1 7464 KachelY 3429 -0.27918450 1.25161032 -15.996094 71.711989
    Unten links KachelX 7463 KachelY + 1 3430 -0.27956800 1.25148996 -16.018066 71.705093
    Unten rechts KachelX + 1 7464 KachelY + 1 3430 -0.27918450 1.25148996 -15.996094 71.705093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25161032-1.25148996) × R
    0.000120359999999931 × 6371000     		dl = 766.813559999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25161032-1.25148996) × R
    0.000120359999999931 × 6371000     		dr = 766.813559999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27956800--0.27918450) × cos(1.25161032) × R
    0.000383499999999981 × 0.313793785307555 × 6371000     		do = 766.685609075528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27956800--0.27918450) × cos(1.25148996) × R
    0.000383499999999981 × 0.31390806379024 × 6371000     		du = 766.964823235283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25161032)-sin(1.25148996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313793785307555-0.31390806379024)×R²
    abs(-0.27918450--0.27956800)×0.00011427848268436×R²
    0.000383499999999981×0.00011427848268436×6371000²
    0.000383499999999981×0.00011427848268436×40589641000000     		ar = 588011.974609006m²