Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74629 / 56257
↖ ↑ ↗
← N 24.684457°
E 24.974671°		 ← 277.52 m → N 24.684457°
E 24.977417°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 24.681961°
E 24.974671°		 ← 277.52 m →
77 017 m²		 N 24.681961°
E 24.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569377899169922 y=0.429210662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569377899169922 × 217)
    floor (0.569377899169922 × 131072)
    floor (74629.5)     		tx = 74629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429210662841797 × 217)
    floor (0.429210662841797 × 131072)
    floor (56257.5)     		ty = 56257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74629 / 56257 ti = "17/74629/56257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74629/56257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74629 ÷ 217
    74629 ÷ 131072     		x = 0.569374084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56257 ÷ 217
    56257 ÷ 131072     		y = 0.429206848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569374084472656 × 2 - 1) × π
    0.138748168945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43589023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429206848144531 × 2 - 1) × π
    0.141586303710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.444806491574501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43589023} λ = 0.43589023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444806491574501))-π/2
    2×atan(1.56018825704666)-π/2
    2×1.00081068629705-π/2
    2.00162137259411-1.57079632675     		φ = 0.43082505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43589023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.974671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43082505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.684457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74629 KachelY 56257 0.43589023 0.43082505 24.974671 24.684457
    Oben rechts KachelX + 1 74630 KachelY 56257 0.43593817 0.43082505 24.977417 24.684457
    Unten links KachelX 74629 KachelY + 1 56258 0.43589023 0.43078149 24.974671 24.681961
    Unten rechts KachelX + 1 74630 KachelY + 1 56258 0.43593817 0.43078149 24.977417 24.681961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43082505-0.43078149) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43082505-0.43078149) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43589023-0.43593817) × cos(0.43082505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908621501088476 × 6371000     		do = 277.516394349998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43589023-0.43593817) × cos(0.43078149) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.908639691779879 × 6371000     		du = 277.521950255381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43082505)-sin(0.43078149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908621501088476-0.908639691779879)×R²
    abs(0.43593817-0.43589023)×1.81906914030749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81906914030749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81906914030749e-05×40589641000000     		ar = 77017.3316241194m²