Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74628 / 61068
↖ ↑ ↗
← N 12.178965°
E 24.971924°		 ← 298.55 m → N 12.178965°
E 24.974671°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
N 12.176280°
E 24.971924°		 ← 298.55 m →
89 132 m²		 N 12.176280°
E 24.974671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569370269775391 y=0.465915679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569370269775391 × 217)
    floor (0.569370269775391 × 131072)
    floor (74628.5)     		tx = 74628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465915679931641 × 217)
    floor (0.465915679931641 × 131072)
    floor (61068.5)     		ty = 61068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74628 / 61068 ti = "17/74628/61068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74628/61068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74628 ÷ 217
    74628 ÷ 131072     		x = 0.569366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61068 ÷ 217
    61068 ÷ 131072     		y = 0.465911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569366455078125 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43584229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    0.06817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.214182067502411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43584229} λ = 0.43584229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214182067502411))-π/2
    2×atan(1.23884818825717)-π/2
    2×0.891679682394697-π/2
    1.78335936478939-1.57079632675     		φ = 0.21256304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43584229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21256304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.178965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74628 KachelY 61068 0.43584229 0.21256304 24.971924 12.178965
    Oben rechts KachelX + 1 74629 KachelY 61068 0.43589023 0.21256304 24.974671 12.178965
    Unten links KachelX 74628 KachelY + 1 61069 0.43584229 0.21251618 24.971924 12.176280
    Unten rechts KachelX + 1 74629 KachelY + 1 61069 0.43589023 0.21251618 24.974671 12.176280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21256304-0.21251618) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dl = 298.545060000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21256304-0.21251618) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dr = 298.545060000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43584229-0.43589023) × cos(0.21256304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977493411821532 × 6371000     		do = 298.55164865052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43584229-0.43589023) × cos(0.21251618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97750329661248 × 6371000     		du = 298.554667720111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21256304)-sin(0.21251618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977493411821532-0.97750329661248)×R²
    abs(0.43589023-0.43584229)×9.8847909483224e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.8847909483224e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8847909483224e-06×40589641000000     		ar = 89131.570539948m²