Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74627 / 61070
↖ ↑ ↗
← N 12.173595°
E 24.969177°		 ← 298.56 m → N 12.173595°
E 24.971924°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
N 12.170910°
E 24.969177°		 ← 298.56 m →
89 133 m²		 N 12.170910°
E 24.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569362640380859 y=0.465930938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569362640380859 × 217)
    floor (0.569362640380859 × 131072)
    floor (74627.5)     		tx = 74627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465930938720703 × 217)
    floor (0.465930938720703 × 131072)
    floor (61070.5)     		ty = 61070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74627 / 61070 ti = "17/74627/61070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74627/61070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74627 ÷ 217
    74627 ÷ 131072     		x = 0.569358825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61070 ÷ 217
    61070 ÷ 131072     		y = 0.465927124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569358825683594 × 2 - 1) × π
    0.138717651367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43579435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465927124023438 × 2 - 1) × π
    0.068145751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.214086193703171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43579435} λ = 0.43579435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214086193703171))-π/2
    2×atan(1.23872942086812)-π/2
    2×0.891632823917303-π/2
    1.78326564783461-1.57079632675     		φ = 0.21246932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43579435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.969177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21246932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.173595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74627 KachelY 61070 0.43579435 0.21246932 24.969177 12.173595
    Oben rechts KachelX + 1 74628 KachelY 61070 0.43584229 0.21246932 24.971924 12.173595
    Unten links KachelX 74627 KachelY + 1 61071 0.43579435 0.21242246 24.969177 12.170910
    Unten rechts KachelX + 1 74628 KachelY + 1 61071 0.43584229 0.21242246 24.971924 12.170910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21246932-0.21242246) × R
    4.68599999999819e-05 × 6371000     		dl = 298.545059999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21246932-0.21242246) × R
    4.68599999999819e-05 × 6371000     		dr = 298.545059999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43579435-0.43584229) × cos(0.21246932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977513179256969 × 6371000     		do = 298.557686134462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43579435-0.43584229) × cos(0.21242246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977523059754975 × 6371000     		du = 298.560703892877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21246932)-sin(0.21242246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977513179256969-0.977523059754975)×R²
    abs(0.43584229-0.43579435)×9.88049800665358e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.88049800665358e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.88049800665358e-06×40589641000000     		ar = 89133.3728051927m²