Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74626 / 53978
↖ ↑ ↗
← N 30.235340°
E 24.966431°		 ← 263.82 m → N 30.235340°
E 24.969177°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
N 30.232968°
E 24.966431°		 ← 263.83 m →
69 603 m²		 N 30.232968°
E 24.969177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569355010986328 y=0.411823272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569355010986328 × 217)
    floor (0.569355010986328 × 131072)
    floor (74626.5)     		tx = 74626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411823272705078 × 217)
    floor (0.411823272705078 × 131072)
    floor (53978.5)     		ty = 53978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74626 / 53978 ti = "17/74626/53978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74626/53978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74626 ÷ 217
    74626 ÷ 131072     		x = 0.569351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53978 ÷ 217
    53978 ÷ 131072     		y = 0.411819458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569351196289062 × 2 - 1) × π
    0.138702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43574642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411819458007812 × 2 - 1) × π
    0.176361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.554054685808609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43574642} λ = 0.43574642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.554054685808609))-π/2
    2×atan(1.74029508131112)-π/2
    2×1.04925128516037-π/2
    2.09850257032075-1.57079632675     		φ = 0.52770624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43574642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.966431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52770624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.235340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74626 KachelY 53978 0.43574642 0.52770624 24.966431 30.235340
    Oben rechts KachelX + 1 74627 KachelY 53978 0.43579435 0.52770624 24.969177 30.235340
    Unten links KachelX 74626 KachelY + 1 53979 0.43574642 0.52766483 24.966431 30.232968
    Unten rechts KachelX + 1 74627 KachelY + 1 53979 0.43579435 0.52766483 24.969177 30.232968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52770624-0.52766483) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52770624-0.52766483) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43574642-0.43579435) × cos(0.52770624) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.86396437189717 × 6371000     		do = 263.821914450051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43574642-0.43579435) × cos(0.52766483) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.863985223283681 × 6371000     		du = 263.828281671764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52770624)-sin(0.52766483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86396437189717-0.863985223283681)×R²
    abs(0.43579435-0.43574642)×2.08513865106452e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08513865106452e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08513865106452e-05×40589641000000     		ar = 69603.1578765165m²