Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74626 / 53103
↖ ↑ ↗
← N 32.289454°
E 24.966431°		 ← 258.14 m → N 32.289454°
E 24.969177°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
N 32.287133°
E 24.966431°		 ← 258.15 m →
66 641 m²		 N 32.287133°
E 24.969177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569355010986328 y=0.405147552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569355010986328 × 217)
    floor (0.569355010986328 × 131072)
    floor (74626.5)     		tx = 74626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405147552490234 × 217)
    floor (0.405147552490234 × 131072)
    floor (53103.5)     		ty = 53103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74626 / 53103 ti = "17/74626/53103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74626/53103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74626 ÷ 217
    74626 ÷ 131072     		x = 0.569351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53103 ÷ 217
    53103 ÷ 131072     		y = 0.405143737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569351196289062 × 2 - 1) × π
    0.138702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43574642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405143737792969 × 2 - 1) × π
    0.189712524414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.595999472976158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43574642} λ = 0.43574642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595999472976158))-π/2
    2×atan(1.81484392625657)-π/2
    2×1.06717681085607-π/2
    2.13435362171214-1.57079632675     		φ = 0.56355729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43574642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.966431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56355729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.289454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74626 KachelY 53103 0.43574642 0.56355729 24.966431 32.289454
    Oben rechts KachelX + 1 74627 KachelY 53103 0.43579435 0.56355729 24.969177 32.289454
    Unten links KachelX 74626 KachelY + 1 53104 0.43574642 0.56351677 24.966431 32.287133
    Unten rechts KachelX + 1 74627 KachelY + 1 53104 0.43579435 0.56351677 24.969177 32.287133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56355729-0.56351677) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56355729-0.56351677) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43574642-0.43579435) × cos(0.56355729) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.845360170938974 × 6371000     		do = 258.140897878931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43574642-0.43579435) × cos(0.56351677) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.845381815897811 × 6371000     		du = 258.147507427501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56355729)-sin(0.56351677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845360170938974-0.845381815897811)×R²
    abs(0.43579435-0.43574642)×2.16449588369416e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16449588369416e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16449588369416e-05×40589641000000     		ar = 66640.6797051793m²