Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74625 / 56706
↖ ↑ ↗
← N 23.558952°
E 24.963684°		 ← 279.97 m → N 23.558952°
E 24.966431°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.556434°
E 24.963684°		 ← 279.97 m →
78 376 m²		 N 23.556434°
E 24.966431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569347381591797 y=0.432636260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569347381591797 × 217)
    floor (0.569347381591797 × 131072)
    floor (74625.5)     		tx = 74625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432636260986328 × 217)
    floor (0.432636260986328 × 131072)
    floor (56706.5)     		ty = 56706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74625 / 56706 ti = "17/74625/56706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74625/56706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74625 ÷ 217
    74625 ÷ 131072     		x = 0.569343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56706 ÷ 217
    56706 ÷ 131072     		y = 0.432632446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569343566894531 × 2 - 1) × π
    0.138687133789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43569848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432632446289062 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.423282823645096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43569848} λ = 0.43569848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423282823645096))-π/2
    2×atan(1.5269660970193)-π/2
    2×0.990988803052227-π/2
    1.98197760610445-1.57079632675     		φ = 0.41118128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43569848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.963684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41118128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.558952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74625 KachelY 56706 0.43569848 0.41118128 24.963684 23.558952
    Oben rechts KachelX + 1 74626 KachelY 56706 0.43574642 0.41118128 24.966431 23.558952
    Unten links KachelX 74625 KachelY + 1 56707 0.43569848 0.41113734 24.963684 23.556434
    Unten rechts KachelX + 1 74626 KachelY + 1 56707 0.43574642 0.41113734 24.966431 23.556434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41118128-0.41113734) × R
    4.39399999999646e-05 × 6371000     		dl = 279.941739999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41118128-0.41113734) × R
    4.39399999999646e-05 × 6371000     		dr = 279.941739999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43569848-0.43574642) × cos(0.41118128) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916649313813741 × 6371000     		do = 279.968294992195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43569848-0.43574642) × cos(0.41113734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91666687541404 × 6371000     		du = 279.973658756962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41118128)-sin(0.41113734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916649313813741-0.91666687541404)×R²
    abs(0.43574642-0.43569848)×1.75616002990875e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75616002990875e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75616002990875e-05×40589641000000     		ar = 78375.5624282828m²