Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74625 / 53141
↖ ↑ ↗
← N 32.201181°
E 24.963684°		 ← 258.45 m → N 32.201181°
E 24.966431°		 →
↑
258.47 m
↓
↑
258.47 m
↓
N 32.198857°
E 24.963684°		 ← 258.45 m →
66 802 m²		 N 32.198857°
E 24.966431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569347381591797 y=0.405437469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569347381591797 × 217)
    floor (0.569347381591797 × 131072)
    floor (74625.5)     		tx = 74625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405437469482422 × 217)
    floor (0.405437469482422 × 131072)
    floor (53141.5)     		ty = 53141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74625 / 53141 ti = "17/74625/53141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74625/53141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74625 ÷ 217
    74625 ÷ 131072     		x = 0.569343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53141 ÷ 217
    53141 ÷ 131072     		y = 0.405433654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569343566894531 × 2 - 1) × π
    0.138687133789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43569848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405433654785156 × 2 - 1) × π
    0.189132690429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.594177870790596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43569848} λ = 0.43569848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594177870790596))-π/2
    2×atan(1.81154101180545)-π/2
    2×1.06640648145483-π/2
    2.13281296290966-1.57079632675     		φ = 0.56201664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43569848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.963684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56201664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.201181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74625 KachelY 53141 0.43569848 0.56201664 24.963684 32.201181
    Oben rechts KachelX + 1 74626 KachelY 53141 0.43574642 0.56201664 24.966431 32.201181
    Unten links KachelX 74625 KachelY + 1 53142 0.43569848 0.56197607 24.963684 32.198857
    Unten rechts KachelX + 1 74626 KachelY + 1 53142 0.43574642 0.56197607 24.966431 32.198857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56201664-0.56197607) × R
    4.05699999999065e-05 × 6371000     		dl = 258.471469999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56201664-0.56197607) × R
    4.05699999999065e-05 × 6371000     		dr = 258.471469999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43569848-0.43574642) × cos(0.56201664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846182177581728 × 6371000     		do = 258.44581776284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43569848-0.43574642) × cos(0.56197607) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846203796383777 × 6371000     		du = 258.452420701454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56201664)-sin(0.56197607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846182177581728-0.846203796383777)×R²
    abs(0.43574642-0.43569848)×2.16188020487618e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16188020487618e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16188020487618e-05×40589641000000     		ar = 66801.7237771031m²