Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74624 / 56696
↖ ↑ ↗
← N 23.584126°
E 24.960937°		 ← 279.91 m → N 23.584126°
E 24.963684°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
N 23.581609°
E 24.960937°		 ← 279.92 m →
78 343 m²		 N 23.581609°
E 24.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569339752197266 y=0.432559967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569339752197266 × 217)
    floor (0.569339752197266 × 131072)
    floor (74624.5)     		tx = 74624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432559967041016 × 217)
    floor (0.432559967041016 × 131072)
    floor (56696.5)     		ty = 56696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74624 / 56696 ti = "17/74624/56696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74624/56696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74624 ÷ 217
    74624 ÷ 131072     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56696 ÷ 217
    56696 ÷ 131072     		y = 0.43255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43255615234375 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.423762192641296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423762192641296))-π/2
    2×atan(1.52769825269681)-π/2
    2×0.991208488629372-π/2
    1.98241697725874-1.57079632675     		φ = 0.41162065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41162065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.584126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74624 KachelY 56696 0.43565054 0.41162065 24.960937 23.584126
    Oben rechts KachelX + 1 74625 KachelY 56696 0.43569848 0.41162065 24.963684 23.584126
    Unten links KachelX 74624 KachelY + 1 56697 0.43565054 0.41157672 24.960937 23.581609
    Unten rechts KachelX + 1 74625 KachelY + 1 56697 0.43569848 0.41157672 24.963684 23.581609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41162065-0.41157672) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dl = 279.878029999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41162065-0.41157672) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dr = 279.878029999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43569848) × cos(0.41162065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916473612480395 × 6371000     		do = 279.914631282438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43569848) × cos(0.41157672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916491187775376 × 6371000     		du = 279.919999229914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41162065)-sin(0.41157672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916473612480395-0.916491187775376)×R²
    abs(0.43569848-0.43565054)×1.75752949805874e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75752949805874e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75752949805874e-05×40589641000000     		ar = 78342.7067693464m²