Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74624 / 53120
↖ ↑ ↗
← N 32.249975°
E 24.960937°		 ← 258.31 m → N 32.249975°
E 24.963684°		 →
↑
258.28 m
↓
↑
258.28 m
↓
N 32.247652°
E 24.960937°		 ← 258.31 m →
66 717 m²		 N 32.247652°
E 24.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569339752197266 y=0.405277252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569339752197266 × 217)
    floor (0.569339752197266 × 131072)
    floor (74624.5)     		tx = 74624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405277252197266 × 217)
    floor (0.405277252197266 × 131072)
    floor (53120.5)     		ty = 53120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74624 / 53120 ti = "17/74624/53120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74624/53120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74624 ÷ 217
    74624 ÷ 131072     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53120 ÷ 217
    53120 ÷ 131072     		y = 0.4052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.595184545682617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595184545682617))-π/2
    2×atan(1.8133655628687)-π/2
    2×1.0668322823597-π/2
    2.13366456471939-1.57079632675     		φ = 0.56286824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56286824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.249975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74624 KachelY 53120 0.43565054 0.56286824 24.960937 32.249975
    Oben rechts KachelX + 1 74625 KachelY 53120 0.43569848 0.56286824 24.963684 32.249975
    Unten links KachelX 74624 KachelY + 1 53121 0.43565054 0.56282770 24.960937 32.247652
    Unten rechts KachelX + 1 74625 KachelY + 1 53121 0.43569848 0.56282770 24.963684 32.247652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56286824-0.56282770) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dl = 258.280339999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56286824-0.56282770) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dr = 258.280339999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43569848) × cos(0.56286824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845728058505028 × 6371000     		do = 258.307118107791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43569848) × cos(0.56282770) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845749690527309 × 6371000     		du = 258.313725084204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56286824)-sin(0.56282770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845728058505028-0.845749690527309)×R²
    abs(0.43569848-0.43565054)×2.1632022280893e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1632022280893e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1632022280893e-05×40589641000000     		ar = 66716.5035243372m²