Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74623 / 56697
↖ ↑ ↗
← N 23.581609°
E 24.958191°		 ← 279.86 m → N 23.581609°
E 24.960937°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.579091°
E 24.958191°		 ← 279.87 m →
78 346 m²		 N 23.579091°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569332122802734 y=0.432567596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569332122802734 × 217)
    floor (0.569332122802734 × 131072)
    floor (74623.5)     		tx = 74623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432567596435547 × 217)
    floor (0.432567596435547 × 131072)
    floor (56697.5)     		ty = 56697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74623 / 56697 ti = "17/74623/56697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74623/56697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74623 ÷ 217
    74623 ÷ 131072     		x = 0.569328308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56697 ÷ 217
    56697 ÷ 131072     		y = 0.432563781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569328308105469 × 2 - 1) × π
    0.138656616210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43560261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432563781738281 × 2 - 1) × π
    0.134872436523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.423714255741676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43560261} λ = 0.43560261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423714255741676))-π/2
    2×atan(1.52762502133427)-π/2
    2×0.991186521966948-π/2
    1.9823730439339-1.57079632675     		φ = 0.41157672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43560261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.958191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41157672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.581609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74623 KachelY 56697 0.43560261 0.41157672 24.958191 23.581609
    Oben rechts KachelX + 1 74624 KachelY 56697 0.43565054 0.41157672 24.960937 23.581609
    Unten links KachelX 74623 KachelY + 1 56698 0.43560261 0.41153278 24.958191 23.579091
    Unten rechts KachelX + 1 74624 KachelY + 1 56698 0.43565054 0.41153278 24.960937 23.579091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41157672-0.41153278) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41157672-0.41153278) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43560261-0.43565054) × cos(0.41157672) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916491187775376 × 6371000     		do = 279.861609576047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43560261-0.43565054) × cos(0.41153278) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916508765301816 × 6371000     		du = 279.866977085203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41157672)-sin(0.41153278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916491187775376-0.916508765301816)×R²
    abs(0.43565054-0.43560261)×1.75775264408262e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.75775264408262e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.75775264408262e-05×40589641000000     		ar = 78345.6972514381m²