Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74623 / 53142
↖ ↑ ↗
← N 32.198857°
E 24.958191°		 ← 258.40 m → N 32.198857°
E 24.960937°		 →
↑
258.41 m
↓
↑
258.41 m
↓
N 32.196533°
E 24.958191°		 ← 258.41 m →
66 773 m²		 N 32.196533°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569332122802734 y=0.405445098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569332122802734 × 217)
    floor (0.569332122802734 × 131072)
    floor (74623.5)     		tx = 74623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405445098876953 × 217)
    floor (0.405445098876953 × 131072)
    floor (53142.5)     		ty = 53142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74623 / 53142 ti = "17/74623/53142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74623/53142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74623 ÷ 217
    74623 ÷ 131072     		x = 0.569328308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53142 ÷ 217
    53142 ÷ 131072     		y = 0.405441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569328308105469 × 2 - 1) × π
    0.138656616210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43560261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405441284179688 × 2 - 1) × π
    0.189117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.594129933890976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43560261} λ = 0.43560261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594129933890976))-π/2
    2×atan(1.81145417422719)-π/2
    2×1.06638619952068-π/2
    2.13277239904136-1.57079632675     		φ = 0.56197607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43560261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.958191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56197607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.198857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74623 KachelY 53142 0.43560261 0.56197607 24.958191 32.198857
    Oben rechts KachelX + 1 74624 KachelY 53142 0.43565054 0.56197607 24.960937 32.198857
    Unten links KachelX 74623 KachelY + 1 53143 0.43560261 0.56193551 24.958191 32.196533
    Unten rechts KachelX + 1 74624 KachelY + 1 53143 0.43565054 0.56193551 24.960937 32.196533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56197607-0.56193551) × R
    4.05600000000783e-05 × 6371000     		dl = 258.407760000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56197607-0.56193551) × R
    4.05600000000783e-05 × 6371000     		dr = 258.407760000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43560261-0.43565054) × cos(0.56197607) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.846203796383777 × 6371000     		do = 258.398509057316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43560261-0.43565054) × cos(0.56193551) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.846225408464787 × 6371000     		du = 258.405108566245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56197607)-sin(0.56193551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846203796383777-0.846225408464787)×R²
    abs(0.43565054-0.43560261)×2.16120810101472e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16120810101472e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16120810101472e-05×40589641000000     		ar = 66773.0326043724m²