Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74622 / 56702
↖ ↑ ↗
← N 23.569022°
E 24.955444°		 ← 279.95 m → N 23.569022°
E 24.958191°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.566505°
E 24.955444°		 ← 279.95 m →
78 370 m²		 N 23.566505°
E 24.958191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569324493408203 y=0.432605743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569324493408203 × 217)
    floor (0.569324493408203 × 131072)
    floor (74622.5)     		tx = 74622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432605743408203 × 217)
    floor (0.432605743408203 × 131072)
    floor (56702.5)     		ty = 56702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74622 / 56702 ti = "17/74622/56702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74622/56702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74622 ÷ 217
    74622 ÷ 131072     		x = 0.569320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56702 ÷ 217
    56702 ÷ 131072     		y = 0.432601928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569320678710938 × 2 - 1) × π
    0.138641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43555467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432601928710938 × 2 - 1) × π
    0.134796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.423474571243576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43555467} λ = 0.43555467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423474571243576))-π/2
    2×atan(1.52725891717425)-π/2
    2×0.991076682336507-π/2
    1.98215336467301-1.57079632675     		φ = 0.41135704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43555467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41135704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.569022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74622 KachelY 56702 0.43555467 0.41135704 24.955444 23.569022
    Oben rechts KachelX + 1 74623 KachelY 56702 0.43560261 0.41135704 24.958191 23.569022
    Unten links KachelX 74622 KachelY + 1 56703 0.43555467 0.41131310 24.955444 23.566505
    Unten rechts KachelX + 1 74623 KachelY + 1 56703 0.43560261 0.41131310 24.958191 23.566505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41135704-0.41131310) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41135704-0.41131310) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43555467-0.43560261) × cos(0.41135704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916579049714919 × 6371000     		do = 279.946834527816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43555467-0.43560261) × cos(0.41131310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9165966183942 × 6371000     		du = 279.952200454687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41135704)-sin(0.41131310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916579049714919-0.9165966183942)×R²
    abs(0.43560261-0.43555467)×1.75686792814878e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75686792814878e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75686792814878e-05×40589641000000     		ar = 78369.555051323m²