Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74622 / 54926
↖ ↑ ↗
← N 27.960443°
E 24.955444°		 ← 269.77 m → N 27.960443°
E 24.958191°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 27.958017°
E 24.955444°		 ← 269.78 m →
72 772 m²		 N 27.958017°
E 24.958191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569324493408203 y=0.419055938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569324493408203 × 217)
    floor (0.569324493408203 × 131072)
    floor (74622.5)     		tx = 74622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419055938720703 × 217)
    floor (0.419055938720703 × 131072)
    floor (54926.5)     		ty = 54926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74622 / 54926 ti = "17/74622/54926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74622/54926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74622 ÷ 217
    74622 ÷ 131072     		x = 0.569320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54926 ÷ 217
    54926 ÷ 131072     		y = 0.419052124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569320678710938 × 2 - 1) × π
    0.138641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43555467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419052124023438 × 2 - 1) × π
    0.161895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.508610504968796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43555467} λ = 0.43555467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508610504968796))-π/2
    2×atan(1.66297888794657)-π/2
    2×1.02939905932608-π/2
    2.05879811865216-1.57079632675     		φ = 0.48800179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43555467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48800179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.960443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74622 KachelY 54926 0.43555467 0.48800179 24.955444 27.960443
    Oben rechts KachelX + 1 74623 KachelY 54926 0.43560261 0.48800179 24.958191 27.960443
    Unten links KachelX 74622 KachelY + 1 54927 0.43555467 0.48795945 24.955444 27.958017
    Unten rechts KachelX + 1 74623 KachelY + 1 54927 0.43560261 0.48795945 24.958191 27.958017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48800179-0.48795945) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dl = 269.748139999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48800179-0.48795945) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dr = 269.748139999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43555467-0.43560261) × cos(0.48800179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883271505832513 × 6371000     		do = 269.773853289945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43555467-0.43560261) × cos(0.48795945) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883291356652096 × 6371000     		du = 269.779916241206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48800179)-sin(0.48795945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883271505832513-0.883291356652096)×R²
    abs(0.43560261-0.43555467)×1.98508195823344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98508195823344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98508195823344e-05×40589641000000     		ar = 72771.8128912784m²