Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74621 / 90780
↖ ↑ ↗
← S 56.794862°
E 24.952698°		 ← 167.26 m → S 56.794862°
E 24.955444°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
S 56.796367°
E 24.952698°		 ← 167.26 m →
27 983 m²		 S 56.796367°
E 24.955444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569316864013672 y=0.692600250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569316864013672 × 217)
    floor (0.569316864013672 × 131072)
    floor (74621.5)     		tx = 74621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692600250244141 × 217)
    floor (0.692600250244141 × 131072)
    floor (90780.5)     		ty = 90780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74621 / 90780 ti = "17/74621/90780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74621/90780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74621 ÷ 217
    74621 ÷ 131072     		x = 0.569313049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90780 ÷ 217
    90780 ÷ 131072     		y = 0.692596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569313049316406 × 2 - 1) × π
    0.138626098632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43550673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.38519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.2101190940087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43550673} λ = 0.43550673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2101190940087))-π/2
    2×atan(0.298161768035137)-π/2
    2×0.289769491067863-π/2
    0.579538982135727-1.57079632675     		φ = -0.99125734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43550673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.952698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99125734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.794862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74621 KachelY 90780 0.43550673 -0.99125734 24.952698 -56.794862
    Oben rechts KachelX + 1 74622 KachelY 90780 0.43555467 -0.99125734 24.955444 -56.794862
    Unten links KachelX 74621 KachelY + 1 90781 0.43550673 -0.99128360 24.952698 -56.796367
    Unten rechts KachelX + 1 74622 KachelY + 1 90781 0.43555467 -0.99128360 24.955444 -56.796367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99125734--0.99128360) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99125734--0.99128360) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43550673-0.43555467) × cos(-0.99125734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.547638258241714 × 6371000     		do = 167.262820275677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43550673-0.43555467) × cos(-0.99128360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.547616285911551 × 6371000     		du = 167.256109360477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99125734)-sin(-0.99128360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547638258241714-0.547616285911551)×R²
    abs(0.43555467-0.43550673)×2.19723301632113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19723301632113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19723301632113e-05×40589641000000     		ar = 27982.9199238952m²