Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74620 / 56180
↖ ↑ ↗
← N 24.876470°
E 24.949951°		 ← 277.03 m → N 24.876470°
E 24.952698°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 24.873978°
E 24.949951°		 ← 277.04 m →
76 759 m²		 N 24.873978°
E 24.952698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569309234619141 y=0.428623199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569309234619141 × 217)
    floor (0.569309234619141 × 131072)
    floor (74620.5)     		tx = 74620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428623199462891 × 217)
    floor (0.428623199462891 × 131072)
    floor (56180.5)     		ty = 56180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74620 / 56180 ti = "17/74620/56180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74620/56180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74620 ÷ 217
    74620 ÷ 131072     		x = 0.569305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56180 ÷ 217
    56180 ÷ 131072     		y = 0.428619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569305419921875 × 2 - 1) × π
    0.13861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43545880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428619384765625 × 2 - 1) × π
    0.14276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.448497632845245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43545880} λ = 0.43545880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448497632845245))-π/2
    2×atan(1.56595777381252)-π/2
    2×1.00248631650029-π/2
    2.00497263300058-1.57079632675     		φ = 0.43417631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43545880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43417631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.876470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74620 KachelY 56180 0.43545880 0.43417631 24.949951 24.876470
    Oben rechts KachelX + 1 74621 KachelY 56180 0.43550673 0.43417631 24.952698 24.876470
    Unten links KachelX 74620 KachelY + 1 56181 0.43545880 0.43413282 24.949951 24.873978
    Unten rechts KachelX + 1 74621 KachelY + 1 56181 0.43550673 0.43413282 24.952698 24.873978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43417631-0.43413282) × R
    4.34900000000349e-05 × 6371000     		dl = 277.074790000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43417631-0.43413282) × R
    4.34900000000349e-05 × 6371000     		dr = 277.074790000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.43417631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.907216846153716 × 6371000     		do = 277.029577791866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.43413282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.907235139941755 × 6371000     		du = 277.035164020118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43417631)-sin(0.43413282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907216846153716-0.907235139941755)×R²
    abs(0.43550673-0.43545880)×1.82937880394141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82937880394141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82937880394141e-05×40589641000000     		ar = 76758.6860041447m²