Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74620 / 54924
↖ ↑ ↗
← N 27.965295°
E 24.949951°		 ← 269.71 m → N 27.965295°
E 24.952698°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 27.962869°
E 24.949951°		 ← 269.71 m →
72 753 m²		 N 27.962869°
E 24.952698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569309234619141 y=0.419040679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569309234619141 × 217)
    floor (0.569309234619141 × 131072)
    floor (74620.5)     		tx = 74620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419040679931641 × 217)
    floor (0.419040679931641 × 131072)
    floor (54924.5)     		ty = 54924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74620 / 54924 ti = "17/74620/54924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74620/54924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74620 ÷ 217
    74620 ÷ 131072     		x = 0.569305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54924 ÷ 217
    54924 ÷ 131072     		y = 0.419036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569305419921875 × 2 - 1) × π
    0.13861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43545880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    0.16192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.508706378768036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43545880} λ = 0.43545880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508706378768036))-π/2
    2×atan(1.66313833169373)-π/2
    2×1.02944139967186-π/2
    2.05888279934372-1.57079632675     		φ = 0.48808647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43545880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48808647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.965295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74620 KachelY 54924 0.43545880 0.48808647 24.949951 27.965295
    Oben rechts KachelX + 1 74621 KachelY 54924 0.43550673 0.48808647 24.952698 27.965295
    Unten links KachelX 74620 KachelY + 1 54925 0.43545880 0.48804413 24.949951 27.962869
    Unten rechts KachelX + 1 74621 KachelY + 1 54925 0.43550673 0.48804413 24.952698 27.962869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48808647-0.48804413) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dl = 269.748139999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48808647-0.48804413) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dr = 269.748139999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.48808647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883231799443126 × 6371000     		do = 269.705455238671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.48804413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883251653429512 × 6371000     		du = 269.711517892257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48808647)-sin(0.48804413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883231799443126-0.883251653429512)×R²
    abs(0.43550673-0.43545880)×1.98539863851543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98539863851543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98539863851543e-05×40589641000000     		ar = 72753.3626040269m²