Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74620 / 53123
↖ ↑ ↗
← N 32.243006°
E 24.949951°		 ← 258.27 m → N 32.243006°
E 24.952698°		 →
↑
258.34 m
↓
↑
258.34 m
↓
N 32.240682°
E 24.949951°		 ← 258.28 m →
66 724 m²		 N 32.240682°
E 24.952698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569309234619141 y=0.405300140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569309234619141 × 217)
    floor (0.569309234619141 × 131072)
    floor (74620.5)     		tx = 74620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405300140380859 × 217)
    floor (0.405300140380859 × 131072)
    floor (53123.5)     		ty = 53123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74620 / 53123 ti = "17/74620/53123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74620/53123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74620 ÷ 217
    74620 ÷ 131072     		x = 0.569305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53123 ÷ 217
    53123 ÷ 131072     		y = 0.405296325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569305419921875 × 2 - 1) × π
    0.13861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43545880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405296325683594 × 2 - 1) × π
    0.189407348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.595040734983757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43545880} λ = 0.43545880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595040734983757))-π/2
    2×atan(1.81310480025049)-π/2
    2×1.06677146765478-π/2
    2.13354293530957-1.57079632675     		φ = 0.56274661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43545880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56274661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.243006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74620 KachelY 53123 0.43545880 0.56274661 24.949951 32.243006
    Oben rechts KachelX + 1 74621 KachelY 53123 0.43550673 0.56274661 24.952698 32.243006
    Unten links KachelX 74620 KachelY + 1 53124 0.43545880 0.56270606 24.949951 32.240682
    Unten rechts KachelX + 1 74621 KachelY + 1 53124 0.43550673 0.56270606 24.952698 32.240682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56274661-0.56270606) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dl = 258.344050000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56274661-0.56270606) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dr = 258.344050000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.56274661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.845792955737 × 6371000     		do = 258.273053923709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.56270606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.845814588923654 × 6371000     		du = 258.279659877501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56274661)-sin(0.56270606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845792955737-0.845814588923654)×R²
    abs(0.43550673-0.43545880)×2.16331866536024e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16331866536024e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16331866536024e-05×40589641000000     		ar = 66724.1600700368m²