Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74620 / 53119
↖ ↑ ↗
← N 32.252297°
E 24.949951°		 ← 258.25 m → N 32.252297°
E 24.952698°		 →
↑
258.28 m
↓
↑
258.28 m
↓
N 32.249975°
E 24.949951°		 ← 258.25 m →
66 701 m²		 N 32.249975°
E 24.952698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569309234619141 y=0.405269622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569309234619141 × 217)
    floor (0.569309234619141 × 131072)
    floor (74620.5)     		tx = 74620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405269622802734 × 217)
    floor (0.405269622802734 × 131072)
    floor (53119.5)     		ty = 53119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74620 / 53119 ti = "17/74620/53119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74620/53119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74620 ÷ 217
    74620 ÷ 131072     		x = 0.569305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53119 ÷ 217
    53119 ÷ 131072     		y = 0.405265808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569305419921875 × 2 - 1) × π
    0.13861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43545880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405265808105469 × 2 - 1) × π
    0.189468383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.595232482582237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43545880} λ = 0.43545880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595232482582237))-π/2
    2×atan(1.8134524920752)-π/2
    2×1.06685255289098-π/2
    2.13370510578196-1.57079632675     		φ = 0.56290878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43545880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56290878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.252297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74620 KachelY 53119 0.43545880 0.56290878 24.949951 32.252297
    Oben rechts KachelX + 1 74621 KachelY 53119 0.43550673 0.56290878 24.952698 32.252297
    Unten links KachelX 74620 KachelY + 1 53120 0.43545880 0.56286824 24.949951 32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 74621 KachelY + 1 53120 0.43550673 0.56286824 24.952698 32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56290878-0.56286824) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dl = 258.280339999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56290878-0.56286824) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dr = 258.280339999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.56290878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.8457064250928 × 6371000     		do = 258.246630750538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43545880-0.43550673) × cos(0.56286824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 258.253236773212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56290878)-sin(0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8457064250928-0.845728058505028)×R²
    abs(0.43550673-0.43545880)×2.16334122278283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16334122278283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16334122278283e-05×40589641000000     		ar = 66700.8807061656m²