Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7462 / 7421
↖ ↑ ↗
← S 81.072779°
E147.919922°		 ← 758.28 m → S 81.072779°
E147.963867°		 →
↑
758.02 m
↓
↑
758.02 m
↓
S 81.079596°
E147.919922°		 ← 757.71 m →
574 579 m²		 S 81.079596°
E147.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91094970703125 y=0.90594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91094970703125 × 213)
    floor (0.91094970703125 × 8192)
    floor (7462.5)     		tx = 7462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90594482421875 × 213)
    floor (0.90594482421875 × 8192)
    floor (7421.5)     		ty = 7421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7462 / 7421 ti = "13/7462/7421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7462/7421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7462 ÷ 213
    7462 ÷ 8192     		x = 0.910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7421 ÷ 213
    7421 ÷ 8192     		y = 0.9058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58168967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55024305978699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58168967} λ = 2.58168967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55024305978699))-π/2
    2×atan(0.0780626897943171)-π/2
    2×0.0779047013304408-π/2
    0.155809402660882-1.57079632675     		φ = -1.41498692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58168967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41498692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.072779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7462 KachelY 7421 2.58168967 -1.41498692 147.919922 -81.072779
    Oben rechts KachelX + 1 7463 KachelY 7421 2.58245666 -1.41498692 147.963867 -81.072779
    Unten links KachelX 7462 KachelY + 1 7422 2.58168967 -1.41510590 147.919922 -81.079596
    Unten rechts KachelX + 1 7463 KachelY + 1 7422 2.58245666 -1.41510590 147.963867 -81.079596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41498692--1.41510590) × R
    0.00011897999999988 × 6371000     		dl = 758.021579999234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41498692--1.41510590) × R
    0.00011897999999988 × 6371000     		dr = 758.021579999234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58168967-2.58245666) × cos(-1.41498692) × R
    0.000766990000000245 × 0.155179751880032 × 6371000     		do = 758.284816305883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58168967-2.58245666) × cos(-1.41510590) × R
    0.000766990000000245 × 0.155062212075803 × 6371000     		du = 757.71045884121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41498692)-sin(-1.41510590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155179751880032-0.155062212075803)×R²
    abs(2.58245666-2.58168967)×0.000117539804228906×R²
    0.000766990000000245×0.000117539804228906×6371000²
    0.000766990000000245×0.000117539804228906×40589641000000     		ar = 574578.567544404m²