Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7462 / 3432
↖ ↑ ↗
← N 71.691293°
W 16.040039°		 ← 767.50 m → N 71.691293°
W 16.018066°		 →
↑
767.64 m
↓
↑
767.64 m
↓
N 71.684389°
W 16.040039°		 ← 767.78 m →
589 275 m²		 N 71.684389°
W 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455474853515625 y=0.209503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455474853515625 × 214)
    floor (0.455474853515625 × 16384)
    floor (7462.5)     		tx = 7462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209503173828125 × 214)
    floor (0.209503173828125 × 16384)
    floor (3432.5)     		ty = 3432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7462 / 3432 ti = "14/7462/3432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7462/3432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7462 ÷ 214
    7462 ÷ 16384     		x = 0.4554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3432 ÷ 214
    3432 ÷ 16384     		y = 0.20947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20947265625 × 2 - 1) × π
    0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27995149} λ = -0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82543713753174))-π/2
    2×atan(6.2055070863394)-π/2
    2×1.41102271486491-π/2
    2.82204542972981-1.57079632675     		φ = 1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7462 KachelY 3432 -0.27995149 1.25124910 -16.040039 71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 7463 KachelY 3432 -0.27956800 1.25124910 -16.018066 71.691293
    Unten links KachelX 7462 KachelY + 1 3433 -0.27995149 1.25112861 -16.040039 71.684389
    Unten rechts KachelX + 1 7463 KachelY + 1 3433 -0.27956800 1.25112861 -16.018066 71.684389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25124910-1.25112861) × R
    0.000120489999999807 × 6371000     		dl = 767.641789998768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25124910-1.25112861) × R
    0.000120489999999807 × 6371000     		dr = 767.641789998768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27995149--0.27956800) × cos(1.25124910) × R
    0.000383490000000042 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 767.503529310389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27995149--0.27956800) × cos(1.25112861) × R
    0.000383490000000042 × 0.314251128268822 × 6371000     		du = 767.783004360658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25124910)-sin(1.25112861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314251128268822)×R²
    abs(-0.27956800--0.27995149)×0.000114388244296826×R²
    0.000383490000000042×0.000114388244296826×6371000²
    0.000383490000000042×0.000114388244296826×40589641000000     		ar = 589275.05214731m²