Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74619 / 54939
↖ ↑ ↗
← N 27.928900°
E 24.947205°		 ← 269.85 m → N 27.928900°
E 24.949951°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 27.926474°
E 24.947205°		 ← 269.86 m →
72 810 m²		 N 27.926474°
E 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569301605224609 y=0.419155120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569301605224609 × 217)
    floor (0.569301605224609 × 131072)
    floor (74619.5)     		tx = 74619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419155120849609 × 217)
    floor (0.419155120849609 × 131072)
    floor (54939.5)     		ty = 54939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74619 / 54939 ti = "17/74619/54939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74619/54939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74619 ÷ 217
    74619 ÷ 131072     		x = 0.569297790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54939 ÷ 217
    54939 ÷ 131072     		y = 0.419151306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569297790527344 × 2 - 1) × π
    0.138595581054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43541086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419151306152344 × 2 - 1) × π
    0.161697387695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.507987325273735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43541086} λ = 0.43541086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507987325273735))-π/2
    2×atan(1.66194287611459)-π/2
    2×1.02912380069513-π/2
    2.05824760139026-1.57079632675     		φ = 0.48745127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43541086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.947205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48745127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.928900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74619 KachelY 54939 0.43541086 0.48745127 24.947205 27.928900
    Oben rechts KachelX + 1 74620 KachelY 54939 0.43545880 0.48745127 24.949951 27.928900
    Unten links KachelX 74619 KachelY + 1 54940 0.43541086 0.48740892 24.947205 27.926474
    Unten rechts KachelX + 1 74620 KachelY + 1 54940 0.43545880 0.48740892 24.949951 27.926474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48745127-0.48740892) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48745127-0.48740892) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43541086-0.43545880) × cos(0.48745127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883529489804987 × 6371000     		do = 269.852648235334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43541086-0.43545880) × cos(0.48740892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883549324716522 × 6371000     		du = 269.858706327867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48745127)-sin(0.48740892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883529489804987-0.883549324716522)×R²
    abs(0.43545880-0.43541086)×1.98349115347884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98349115347884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98349115347884e-05×40589641000000     		ar = 72810.2595311585m²