Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74619 / 54929
↖ ↑ ↗
← N 27.953165°
E 24.947205°		 ← 269.79 m → N 27.953165°
E 24.949951°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 27.950739°
E 24.947205°		 ← 269.80 m →
72 777 m²		 N 27.950739°
E 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569301605224609 y=0.419078826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569301605224609 × 217)
    floor (0.569301605224609 × 131072)
    floor (74619.5)     		tx = 74619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419078826904297 × 217)
    floor (0.419078826904297 × 131072)
    floor (54929.5)     		ty = 54929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74619 / 54929 ti = "17/74619/54929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74619/54929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74619 ÷ 217
    74619 ÷ 131072     		x = 0.569297790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54929 ÷ 217
    54929 ÷ 131072     		y = 0.419075012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569297790527344 × 2 - 1) × π
    0.138595581054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43541086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419075012207031 × 2 - 1) × π
    0.161849975585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.508466694269936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43541086} λ = 0.43541086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508466694269936))-π/2
    2×atan(1.66273975098615)-π/2
    2×1.02933554523877-π/2
    2.05867109047755-1.57079632675     		φ = 0.48787476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43541086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.947205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48787476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.953165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74619 KachelY 54929 0.43541086 0.48787476 24.947205 27.953165
    Oben rechts KachelX + 1 74620 KachelY 54929 0.43545880 0.48787476 24.949951 27.953165
    Unten links KachelX 74619 KachelY + 1 54930 0.43541086 0.48783242 24.947205 27.950739
    Unten rechts KachelX + 1 74620 KachelY + 1 54930 0.43545880 0.48783242 24.949951 27.950739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48787476-0.48783242) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48787476-0.48783242) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43541086-0.43545880) × cos(0.48787476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883331058228357 × 6371000     		do = 269.792042124202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43541086-0.43545880) × cos(0.48783242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883350904297094 × 6371000     		du = 269.798103624432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48787476)-sin(0.48783242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883331058228357-0.883350904297094)×R²
    abs(0.43545880-0.43541086)×1.98460687369506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98460687369506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98460687369506e-05×40589641000000     		ar = 72776.7190999745m²