Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74619 / 53106
↖ ↑ ↗
← N 32.282489°
E 24.947205°		 ← 258.21 m → N 32.282489°
E 24.949951°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 32.280167°
E 24.947205°		 ← 258.22 m →
66 676 m²		 N 32.280167°
E 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569301605224609 y=0.405170440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569301605224609 × 217)
    floor (0.569301605224609 × 131072)
    floor (74619.5)     		tx = 74619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405170440673828 × 217)
    floor (0.405170440673828 × 131072)
    floor (53106.5)     		ty = 53106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74619 / 53106 ti = "17/74619/53106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74619/53106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74619 ÷ 217
    74619 ÷ 131072     		x = 0.569297790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53106 ÷ 217
    53106 ÷ 131072     		y = 0.405166625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569297790527344 × 2 - 1) × π
    0.138595581054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43541086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405166625976562 × 2 - 1) × π
    0.189666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.595855662277298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43541086} λ = 0.43541086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595855662277298))-π/2
    2×atan(1.81458295104917)-π/2
    2×1.06711602260298-π/2
    2.13423204520596-1.57079632675     		φ = 0.56343572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43541086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.947205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56343572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.282489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74619 KachelY 53106 0.43541086 0.56343572 24.947205 32.282489
    Oben rechts KachelX + 1 74620 KachelY 53106 0.43545880 0.56343572 24.949951 32.282489
    Unten links KachelX 74619 KachelY + 1 53107 0.43541086 0.56339519 24.947205 32.280167
    Unten rechts KachelX + 1 74620 KachelY + 1 53107 0.43545880 0.56339519 24.949951 32.280167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56343572-0.56339519) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56343572-0.56339519) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43541086-0.43545880) × cos(0.56343572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845425106992367 × 6371000     		do = 258.214588917554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43541086-0.43545880) × cos(0.56339519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84544675312733 × 6371000     		du = 258.221200204343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56343572)-sin(0.56339519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845425106992367-0.84544675312733)×R²
    abs(0.43545880-0.43541086)×2.1646134962916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1646134962916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1646134962916e-05×40589641000000     		ar = 66676.1545481648m²