Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74615 / 90767
↖ ↑ ↗
← S 56.775304°
E 24.936218°		 ← 167.35 m → S 56.775304°
E 24.938965°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
S 56.776808°
E 24.936218°		 ← 167.34 m →
27 998 m²		 S 56.776808°
E 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569271087646484 y=0.692501068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569271087646484 × 217)
    floor (0.569271087646484 × 131072)
    floor (74615.5)     		tx = 74615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692501068115234 × 217)
    floor (0.692501068115234 × 131072)
    floor (90767.5)     		ty = 90767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74615 / 90767 ti = "17/74615/90767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74615/90767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74615 ÷ 217
    74615 ÷ 131072     		x = 0.569267272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90767 ÷ 217
    90767 ÷ 131072     		y = 0.692497253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569267272949219 × 2 - 1) × π
    0.138534545898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43521911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692497253417969 × 2 - 1) × π
    -0.384994506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.20949591431364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43521911} λ = 0.43521911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20949591431364))-π/2
    2×atan(0.298347634302846)-π/2
    2×0.289940174079958-π/2
    0.579880348159917-1.57079632675     		φ = -0.99091598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43521911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.936218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99091598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.775304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74615 KachelY 90767 0.43521911 -0.99091598 24.936218 -56.775304
    Oben rechts KachelX + 1 74616 KachelY 90767 0.43526705 -0.99091598 24.938965 -56.775304
    Unten links KachelX 74615 KachelY + 1 90768 0.43521911 -0.99094224 24.936218 -56.776808
    Unten rechts KachelX + 1 74616 KachelY + 1 90768 0.43526705 -0.99094224 24.938965 -56.776808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99091598--0.99094224) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dl = 167.302459999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99091598--0.99094224) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dr = 167.302459999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43521911-0.43526705) × cos(-0.99091598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.547923847432102 × 6371000     		do = 167.350046565487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43521911-0.43526705) × cos(-0.99094224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.547901880012212 × 6371000     		du = 167.343337150011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99091598)-sin(-0.99094224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547923847432102-0.547901880012212)×R²
    abs(0.43526705-0.43521911)×2.19674198899122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19674198899122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19674198899122e-05×40589641000000     		ar = 27997.5132221466m²