Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74615 / 53101
↖ ↑ ↗
← N 32.294098°
E 24.936218°		 ← 258.18 m → N 32.294098°
E 24.938965°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
N 32.291776°
E 24.936218°		 ← 258.19 m →
66 651 m²		 N 32.291776°
E 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569271087646484 y=0.405132293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569271087646484 × 217)
    floor (0.569271087646484 × 131072)
    floor (74615.5)     		tx = 74615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405132293701172 × 217)
    floor (0.405132293701172 × 131072)
    floor (53101.5)     		ty = 53101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74615 / 53101 ti = "17/74615/53101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74615/53101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74615 ÷ 217
    74615 ÷ 131072     		x = 0.569267272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53101 ÷ 217
    53101 ÷ 131072     		y = 0.405128479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569267272949219 × 2 - 1) × π
    0.138534545898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43521911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405128479003906 × 2 - 1) × π
    0.189743041992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.596095346775398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43521911} λ = 0.43521911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596095346775398))-π/2
    2×atan(1.8150179305799)-π/2
    2×1.06721733376385-π/2
    2.1344346675277-1.57079632675     		φ = 0.56363834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43521911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.936218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56363834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.294098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74615 KachelY 53101 0.43521911 0.56363834 24.936218 32.294098
    Oben rechts KachelX + 1 74616 KachelY 53101 0.43526705 0.56363834 24.938965 32.294098
    Unten links KachelX 74615 KachelY + 1 53102 0.43521911 0.56359782 24.936218 32.291776
    Unten rechts KachelX + 1 74616 KachelY + 1 53102 0.43526705 0.56359782 24.938965 32.291776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56363834-0.56359782) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56363834-0.56359782) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43521911-0.43526705) × cos(0.56363834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845316871514767 × 6371000     		do = 258.181531016713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43521911-0.43526705) × cos(0.56359782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845338519249855 × 6371000     		du = 258.188142792222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56363834)-sin(0.56359782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845316871514767-0.845338519249855)×R²
    abs(0.43526705-0.43521911)×2.16477350876154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16477350876154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16477350876154e-05×40589641000000     		ar = 66651.1695556713m²