Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74614 / 76453
↖ ↑ ↗
← S 28.702634°
E 24.933471°		 ← 267.90 m → S 28.702634°
E 24.936218°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
S 28.705043°
E 24.933471°		 ← 267.89 m →
71 769 m²		 S 28.705043°
E 24.936218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569263458251953 y=0.583293914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569263458251953 × 217)
    floor (0.569263458251953 × 131072)
    floor (74614.5)     		tx = 74614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583293914794922 × 217)
    floor (0.583293914794922 × 131072)
    floor (76453.5)     		ty = 76453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74614 / 76453 ti = "17/74614/76453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74614/76453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74614 ÷ 217
    74614 ÷ 131072     		x = 0.569259643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76453 ÷ 217
    76453 ÷ 131072     		y = 0.583290100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569259643554688 × 2 - 1) × π
    0.138519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43517117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583290100097656 × 2 - 1) × π
    -0.166580200195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.523327133152153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43517117} λ = 0.43517117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523327133152153))-π/2
    2×atan(0.592545785915244)-π/2
    2×0.534920431381772-π/2
    1.06984086276354-1.57079632675     		φ = -0.50095546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43517117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.933471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50095546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.702634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74614 KachelY 76453 0.43517117 -0.50095546 24.933471 -28.702634
    Oben rechts KachelX + 1 74615 KachelY 76453 0.43521911 -0.50095546 24.936218 -28.702634
    Unten links KachelX 74614 KachelY + 1 76454 0.43517117 -0.50099751 24.933471 -28.705043
    Unten rechts KachelX + 1 74615 KachelY + 1 76454 0.43521911 -0.50099751 24.936218 -28.705043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50095546--0.50099751) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50095546--0.50099751) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43517117-0.43521911) × cos(-0.50095546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877124089460751 × 6371000     		do = 267.896274095511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43517117-0.43521911) × cos(-0.50099751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877103893591884 × 6371000     		du = 267.890105757317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50095546)-sin(-0.50099751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877124089460751-0.877103893591884)×R²
    abs(0.43521911-0.43517117)×2.01958688677006e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01958688677006e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01958688677006e-05×40589641000000     		ar = 71768.7329331076m²