Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74614 / 54924
↖ ↑ ↗
← N 27.965295°
E 24.933471°		 ← 269.76 m → N 27.965295°
E 24.936218°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 27.962869°
E 24.933471°		 ← 269.77 m →
72 769 m²		 N 27.962869°
E 24.936218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569263458251953 y=0.419040679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569263458251953 × 217)
    floor (0.569263458251953 × 131072)
    floor (74614.5)     		tx = 74614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419040679931641 × 217)
    floor (0.419040679931641 × 131072)
    floor (54924.5)     		ty = 54924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74614 / 54924 ti = "17/74614/54924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74614/54924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74614 ÷ 217
    74614 ÷ 131072     		x = 0.569259643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54924 ÷ 217
    54924 ÷ 131072     		y = 0.419036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569259643554688 × 2 - 1) × π
    0.138519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43517117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    0.16192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.508706378768036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43517117} λ = 0.43517117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508706378768036))-π/2
    2×atan(1.66313833169373)-π/2
    2×1.02944139967186-π/2
    2.05888279934372-1.57079632675     		φ = 0.48808647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43517117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.933471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48808647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.965295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74614 KachelY 54924 0.43517117 0.48808647 24.933471 27.965295
    Oben rechts KachelX + 1 74615 KachelY 54924 0.43521911 0.48808647 24.936218 27.965295
    Unten links KachelX 74614 KachelY + 1 54925 0.43517117 0.48804413 24.933471 27.962869
    Unten rechts KachelX + 1 74615 KachelY + 1 54925 0.43521911 0.48804413 24.936218 27.962869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48808647-0.48804413) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dl = 269.748139999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48808647-0.48804413) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dr = 269.748139999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43517117-0.43521911) × cos(0.48808647) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883231799443126 × 6371000     		do = 269.761725936584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43517117-0.43521911) × cos(0.48804413) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883251653429512 × 6371000     		du = 269.767789855068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48808647)-sin(0.48804413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883231799443126-0.883251653429512)×R²
    abs(0.43521911-0.43517117)×1.98539863851543e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98539863851543e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98539863851543e-05×40589641000000     		ar = 72768.5416907295m²