Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74613 / 53107
↖ ↑ ↗
← N 32.280167°
E 24.930725°		 ← 258.17 m → N 32.280167°
E 24.933471°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 32.277844°
E 24.930725°		 ← 258.17 m →
66 664 m²		 N 32.277844°
E 24.933471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569255828857422 y=0.405178070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569255828857422 × 217)
    floor (0.569255828857422 × 131072)
    floor (74613.5)     		tx = 74613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405178070068359 × 217)
    floor (0.405178070068359 × 131072)
    floor (53107.5)     		ty = 53107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74613 / 53107 ti = "17/74613/53107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74613/53107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74613 ÷ 217
    74613 ÷ 131072     		x = 0.569252014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53107 ÷ 217
    53107 ÷ 131072     		y = 0.405174255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569252014160156 × 2 - 1) × π
    0.138504028320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43512324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405174255371094 × 2 - 1) × π
    0.189651489257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.595807725377678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43512324} λ = 0.43512324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595807725377678))-π/2
    2×atan(1.81449596765327)-π/2
    2×1.06709575881432-π/2
    2.13419151762863-1.57079632675     		φ = 0.56339519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43512324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.930725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56339519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.280167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74613 KachelY 53107 0.43512324 0.56339519 24.930725 32.280167
    Oben rechts KachelX + 1 74614 KachelY 53107 0.43517117 0.56339519 24.933471 32.280167
    Unten links KachelX 74613 KachelY + 1 53108 0.43512324 0.56335466 24.930725 32.277844
    Unten rechts KachelX + 1 74614 KachelY + 1 53108 0.43517117 0.56335466 24.933471 32.277844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56339519-0.56335466) × R
    4.05300000000386e-05 × 6371000     		dl = 258.216630000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56339519-0.56335466) × R
    4.05300000000386e-05 × 6371000     		dr = 258.216630000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43512324-0.43517117) × cos(0.56339519) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.84544675312733 × 6371000     		do = 258.167336791729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43512324-0.43517117) × cos(0.56335466) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.845468397873494 × 6371000     		du = 258.173946275357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56339519)-sin(0.56335466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84544675312733-0.845468397873494)×R²
    abs(0.43517117-0.43512324)×2.16447461636182e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16447461636182e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16447461636182e-05×40589641000000     		ar = 66663.9530308448m²