Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74612 / 90764
↖ ↑ ↗
← S 56.770789°
E 24.927978°		 ← 167.37 m → S 56.770789°
E 24.930725°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
S 56.772293°
E 24.927978°		 ← 167.36 m →
28 001 m²		 S 56.772293°
E 24.930725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569248199462891 y=0.692478179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569248199462891 × 217)
    floor (0.569248199462891 × 131072)
    floor (74612.5)     		tx = 74612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692478179931641 × 217)
    floor (0.692478179931641 × 131072)
    floor (90764.5)     		ty = 90764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74612 / 90764 ti = "17/74612/90764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74612/90764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74612 ÷ 217
    74612 ÷ 131072     		x = 0.569244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90764 ÷ 217
    90764 ÷ 131072     		y = 0.692474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569244384765625 × 2 - 1) × π
    0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.38494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20935210361478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43507530} λ = 0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20935210361478))-π/2
    2×atan(0.298390542969927)-π/2
    2×0.289979575105668-π/2
    0.579959150211336-1.57079632675     		φ = -0.99083718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99083718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.770789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74612 KachelY 90764 0.43507530 -0.99083718 24.927978 -56.770789
    Oben rechts KachelX + 1 74613 KachelY 90764 0.43512324 -0.99083718 24.930725 -56.770789
    Unten links KachelX 74612 KachelY + 1 90765 0.43507530 -0.99086344 24.927978 -56.772293
    Unten rechts KachelX + 1 74613 KachelY + 1 90765 0.43512324 -0.99086344 24.930725 -56.772293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99083718--0.99086344) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99083718--0.99086344) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43507530-0.43512324) × cos(-0.99083718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547989764154363 × 6371000     		do = 167.370179229356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43507530-0.43512324) × cos(-0.99086344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547967797868331 × 6371000     		du = 167.363470160189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99083718)-sin(-0.99086344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547989764154363-0.547967797868331)×R²
    abs(0.43512324-0.43507530)×2.19662860323488e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19662860323488e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19662860323488e-05×40589641000000     		ar = 28000.881495534m²