Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7461 / 7413
↖ ↑ ↗
← S 81.018058°
E147.875977°		 ← 762.89 m → S 81.018058°
E147.919922°		 →
↑
762.61 m
↓
↑
762.61 m
↓
S 81.024916°
E147.875977°		 ← 762.32 m →
581 570 m²		 S 81.024916°
E147.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91082763671875 y=0.90496826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91082763671875 × 213)
    floor (0.91082763671875 × 8192)
    floor (7461.5)     		tx = 7461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90496826171875 × 213)
    floor (0.90496826171875 × 8192)
    floor (7413.5)     		ty = 7413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7461 / 7413 ti = "13/7461/7413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7461/7413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7461 ÷ 213
    7461 ÷ 8192     		x = 0.9107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7413 ÷ 213
    7413 ÷ 8192     		y = 0.9049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9107666015625 × 2 - 1) × π
    0.821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58092268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54410713663562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58092268} λ = 2.58092268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54410713663562))-π/2
    2×atan(0.0785431489827911)-π/2
    2×0.0783822325999476-π/2
    0.156764465199895-1.57079632675     		φ = -1.41403186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58092268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41403186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.018058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7461 KachelY 7413 2.58092268 -1.41403186 147.875977 -81.018058
    Oben rechts KachelX + 1 7462 KachelY 7413 2.58168967 -1.41403186 147.919922 -81.018058
    Unten links KachelX 7461 KachelY + 1 7414 2.58092268 -1.41415156 147.875977 -81.024916
    Unten rechts KachelX + 1 7462 KachelY + 1 7414 2.58168967 -1.41415156 147.919922 -81.024916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41403186--1.41415156) × R
    0.000119700000000167 × 6371000     		dl = 762.608700001063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41403186--1.41415156) × R
    0.000119700000000167 × 6371000     		dr = 762.608700001063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58092268-2.58168967) × cos(-1.41403186) × R
    0.000766989999999801 × 0.156123171606537 × 6371000     		do = 762.894830468664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58092268-2.58168967) × cos(-1.41415156) × R
    0.000766989999999801 × 0.156004938298302 × 6371000     		du = 762.317084201321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41403186)-sin(-1.41415156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156123171606537-0.156004938298302)×R²
    abs(2.58168967-2.58092268)×0.000118233308234655×R²
    0.000766989999999801×0.000118233308234655×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118233308234655×40589641000000     		ar = 581569.938429258m²